题目 已知函数 $f\left(x\right)=\ln {\dfrac{1+x}{1-x}}$． 问题1 求曲线 $y=f\left(x\right)$ 在点 $\left(0,f\left(0\right)\right)$ 处的切线方程； 答案1 $y=2x$ 解析1 本题考查了利用导数求曲线的切线方程．求出 $f\left(0\right)$ 和 $f'\left(0\right)$ 的值，其中 $\left(0,f\left(0\right)\right)$ 为定点，$f'\left(0\right)$ 为斜率．因为 $f\left(x\right)=\ln \left(1+x\right)-\ln \left(1-x\right)$，<br/>所以 $f'\left(x\right)=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{1-x}$．<br/>因为 $f'\left(0\right)=2$，所以 $y=f\left(x\right)$ 在点 $\left(0,f\left(0\right)\right)$ 处切线方程的斜率为 $2$，<br/>又因为 $f\left(0\right)=0$，<br/>所以曲线 $y=f\left(x\right)$ 在点 $\left(0,f\left(0\right)\right)$ 处的切线方程为 $y=2x$． 备注1 问题2 求证：当 $x\in\left(0,1\right)$ 时，$f\left(x\right)>2\left(x+\dfrac{x^3}{3}\right)$； 答案2 略 解析2 此问题是恒成立问题，通过移项的方式原问题可以变形为某个新的函数恒为正数的问题，即求该函数最小值满足不等式的问题．令 $g\left(x\right)=f\left(x\right)-2\left(x+\dfrac{x^3}{3}\right)$，则\[\begin{split}g'\left(x\right)&=f'\left(x\right)-2\left(1+x^2\right)\\&=\dfrac{2x^4}{1-x^2}\end{split}.\]因为 $0<x<1$，所以 $g'\left(x\right)>0$，所以 $g\left(x\right)$ 在区间 $\left(0,1\right)$ 上单调递增，<br/>所以，当 $x\in\left(0,1\right)$ 时，$g\left(x\right)>g\left(0\right)=0$，<br/>即当 $x\in\left(0,1\right)$ 时，$f\left(x\right)>2\left(x+\dfrac{x^3}{3}\right)$． 备注2 问题3 设实数 $k$ 使得 $f\left(x\right)>k\left(x+\dfrac{x^3}{3}\right)$ 对 $x\in\left(0,1\right)$ 恒成立，求 $k$ 的最大值． 答案3 $2$ 解析3 注意在 $\left(2\right)$ 中已经确定了 $k=2$ 成立，只需要判断 $k>2$ 的情况即可，延续 $\left(2\right)$ 中的思路可以解决本问题．由（2）知，$f\left(x\right)>2\left(x+\dfrac{x^3}{3}\right)$ 对 $x\in\left(0,1\right)$ 恒成立，<br/>所以当 $k\leqslant 2$ 时，$f\left(x\right)>k\left(x+\dfrac{x^3}{3}\right)$ 对 $x\in\left(0,1\right)$ 恒成立，故只需考虑 $k>2$ 的情况即可．<br/>当 $k>2$ 时，令 $h\left(x\right)=f\left(x\right)-k\left(x+\dfrac{x^3}{3}\right)$，则\[\begin{split}h'\left(x\right)&=f'\left(x\right)-k\left(1+x^2\right)\\&=\dfrac{kx^4-k+2}{1-x^2},\end{split}\]令 $h'\left(x\right)<0$，得 $0<x<\sqrt[4]{\dfrac{k-2}{k}}$，因此 $h\left(x\right)$ 在区间 $\left(0,\sqrt[4]{\dfrac{k-2}{k}}\right)$ 上单调递减．<br/>故当 $0<x<\sqrt[4]{\dfrac{k-2}{k}}$ 时，$h\left(x\right)<h\left(0\right)=0$，<br/>即 $f\left(x\right)<k\left(x+\dfrac{x^3}{3}\right)$．<br/>所以当 $k>2$ 时，$f\left(x\right)>k\left(x+\dfrac{x^3}{3}\right)$ 并非对 $x\in\left(0,1\right)$ 恒成立．<br/>综上可知，$k$ 的最大值为 $2$． 备注3