题目 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：$a_1\in{\mathbb N^*}$，$a_1\leqslant 36$，且 $a_{n+1}= \begin{cases}<br/>2a_n,&a_n\leqslant18,\\2a_n-36,&a_n>18<br/>\end{cases} \left(n=1,2,\cdots\right).$ 记集合 $M=\left\{a_n \left|\right. n\in{\mathbb N}^*\right\}$． 问题1 若 $a_1=6$，写出集合 $M$ 的所有元素； 答案1 $6$，$12$，$24$． 解析1 利用递推关系逐步计算．$6$，$12$，$24$． 备注1 问题2 若集合 $M$ 存在一个元素是 $3$ 的倍数，证明：$M$ 的所有元素都是 $3$ 的倍数； 答案2 略 解析2 利用数学归纳法进行证明．因为集合 $M$ 存在一个元素是 $3$ 的倍数，所以不妨设 $\alpha_k$ 是 $3$ 的倍数．<br/>由 $a_{n+1}= \begin{cases}<br/>2a_n,&a_n\leqslant18,\\2a_n-36,&a_n>18<br/>\end{cases} $ 可归纳证明对任意 $n\geqslant k$，$a_n$ 是 $3$ 的倍数．<br/>如果 $k=1$，则 $M$ 的所有元素都是 $3$ 的倍数．<br/>如果 $k>1$，因为 $a_k=2a_{k-1}$ 或 $a_k=2a_{k-1}-36$，所以 $2a_{k-1}$ 是 $3$ 的倍数，于是 $a_{k-1}$ 是 $3$ 的倍数．<br/>类似可得 $a_{k-2}$，$\cdots$，$a_1$ 都是 $3$ 的倍数．<br/>从而对任意 $n\geqslant1$，$a_n$ 是 $3$ 的倍数，因此 $M$ 的所有元素都是 $3$ 的倍数．<br/>综上，若集合 $M$ 存在一个元素是 $3$ 的倍数，则 $M$ 的所有元素都是 $3$ 的倍数． 备注2 问题3 求集合 $M$ 的元素个数的最大值． 答案3 集合 $M$ 的元素个数的最大值为 $8$． 解析3 结合条件可以推出此数列各项或部分项的性质，缩小考虑情况的范围，确定元素个数的取值情况．由 $a_1\leqslant36$，$a_n= \begin{cases}<br/>2a_{n-1},&a_{n-1}\leqslant18,\\2a_{n-1}-36,&a_{n-1}>18,<br/>\end{cases} $ 可归纳证明 $a_n\leqslant36$（$n=1,2,\cdots$）．<br/>因为 $a_1$ 是正整数，$a_2= \begin{cases}<br/>2a_1,& a_1\leqslant18,\\2a_1-36,&a_1>18,<br/>\end{cases} $ 所以 $a_2$ 是 $2$ 的倍数．<br/>从而当 $n\geqslant 2$ 时，$a_n$ 是 $2$ 的倍数．<br/>如果 $a_1$ 是 $3$ 的倍数，由（2）知对所有正整数 $n$，$a_n$ 是 $3$ 的倍数．<br/>因此当 $n\geqslant3$ 时，$a_n\in\left\{12,24,36\right\}$，这时 $M$ 的元素个数不超过 $5$．<br/>如果 $a_1$ 不是 $3$ 的倍数，由（2）知对所有正整数 $n$，$a_n$ 不是 $3$ 的倍数．<br/>因此当 $n\geqslant3$ 时，$a_n\in\left\{4,8,16,20,28,32\right\}$，这时 $M$ 的元素个数不超过 $8$．<br/>当 $a_1=1$ 时，$M=\left\{1,2,4,8,16,20,28,32\right\}$ 有 $8$ 个元素．<br/>综上可知，集合 $M$ 的元素个数的最大值为 $8$． 备注3