题目 已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_3=2$，前 $3$ 项和 $S_3=\dfrac 92$． 问题1 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； 答案1 $a_n=\dfrac{n+1}{2}$． 解析1 本小题直接应用等差数列通项公式和前 $n$ 项和公式列出方程求解即可．设 $ \left\{a_n\right\} $ 的公差为 $ d $，则由已知条件得 $ a_1+2d=2 $，$ 3a_1+\dfrac{3\times 2}{2}d=\dfrac 92 $，<br/>化简得 $ a_1+2d=2 $，$ a_1+d=\dfrac 32 $，解得 $ a_1=1 $，$ d=\dfrac 12 $．<br/>故 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式$a_n=1+\dfrac{n-1}{2}$，即 $a_n=\dfrac{n+1}{2}$． 备注1 问题2 设等比数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_1=a_1$，$b_4=a_{15}$，求 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$． 答案2 $ T_n=2^n-1 $． 解析2 先根据第一小题的结果算出 $b_1$ 和 $b_4$ 的值，然后求出公比套用等比数列前 $n$ 项和公式即可．由（1）得 $ b_1=1 $，$ b_4=a_{15}=\dfrac{15+1}{2}=8 $．<br/>设 $ \left\{b_n\right\} $ 的公比为 $ q $，则 $ q^3=\dfrac{b_4}{b_1}=8 $，从而 $ q=2 $，<br/>故 $ \left\{b_n\right\} $ 的前 $ n $ 项和\[ T_n=\dfrac{b_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\dfrac{1\times \left(1-2^n\right)}{1-2}=2^n-1 .\] 备注2