${\mathrm \pi} $，$-\dfrac{2+\sqrt 3}{2}$．

三角函数求最值和周期的问题一般需要将函数化成正弦型函数或二次型函数的形式．针对本题函数的形式，我们可以先对二次项进行降幂，然后稍加整理一下后应用辅助角公式化成正弦型函数即可．\[\begin{split}f\left(x\right)&=\dfrac 12 \sin {2x}-\sqrt 3\cos ^2x\\&\overset{\left[a\right]}=\dfrac 12\sin {2x}-\dfrac{\sqrt 3}{2}\left(1+\cos {2x}\right)\\&=\dfrac 12\sin {2x}-\dfrac{\sqrt 3}{2}\cos 2x-\dfrac{\sqrt 3}{2}\\& \overset{\left[b\right]}=\sin\left({2x-\dfrac{\mathrm \pi} {3}}\right)-\dfrac{\sqrt 3}{2},\end{split}\]（推导中用到：[a]，[b]）根据正弦型函数的性质可得 $f\left(x\right)$ 的最小正周期为 ${\mathrm \pi} $，最小值为 $-\dfrac{2+\sqrt 3}{2}$．

$\left[\dfrac{1-\sqrt 3}{2},\dfrac{2-\sqrt 3}{2}\right]$．

首先利用函数的图象变换求出 $g\left(x\right)$ 的解析式，然后求它在 $\left[\dfrac {\mathrm \pi} 2,{\mathrm \pi} \right]$ 上的值域即可．由条件可知 $g\left(x\right)=\sin \left(x-\dfrac{\mathrm \pi} {3}\right)-\dfrac{\sqrt 3}{2}$．
根据正弦型函数求值域的方法可逐步求得 $g\left(x\right)$ 在 $\left[\dfrac {\mathrm \pi} 2,{\mathrm \pi} \right]$ 上的值域：
当 $x\in\left[\dfrac{\mathrm \pi} {2},{\mathrm \pi} \right]$ 时，有 $x-\dfrac{\mathrm \pi} {3}\in\left[\dfrac{\mathrm \pi} {6},\dfrac{2{\mathrm \pi} }{3}\right]$，
从而 $y=\sin \left(x-\dfrac{\mathrm \pi} {3}\right)$ 的值域为 $\left[\dfrac 12,1\right]$，
那么 $y=\sin \left(x-\dfrac{\mathrm \pi} {3}\right)-\dfrac{\sqrt 3}{2}$ 的值域为 $\left[\dfrac{1-\sqrt 3}{2},\dfrac{2-\sqrt 3}{2}\right]$．
故 $g\left(x\right)$ 在区间 $\left[\dfrac{\mathrm \pi} {2},{\mathrm \pi} \right]$ 上的值域是 $\left[\dfrac{1-\sqrt 3}{2},\dfrac{2-\sqrt 3}{2}\right]$．