已知函数 $f\left(x\right)=ax^3+x^2\left(a\in {\mathbb{R}}\right)$ 在 $x=-\dfrac 43$ 处取得极值．
【难度】
【出处】
2015年高考重庆卷（文）
【标注】
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确定 $a$ 的值；标注答案$a=\dfrac 12$．解析函数在某点处取得极值，则在这点处的导数值为 $0$．注意务必要检验该点处确实取得极值．对 $f\left(x\right)$ 求导得 $f'\left(x\right)=3ax^2+2x$，
因为 $f\left(x\right)$ 在 $x=-\dfrac 43$ 处取得极值，所以 $f'\left(-\dfrac 43\right)=0$，
即 $3a\cdot \dfrac{16}{9}+2\cdot \left(-\dfrac 43\right)=0$，解得 $a=\dfrac 12$．
将 $a=\dfrac 12$ 代入 $f\left(x\right)$ 解析式中验证，可知 $f\left(x\right)$ 在 $-\dfrac 43$ 处取得极值，所以 $a=\dfrac 12$ 即为所求． -
若 $g\left(x\right)=f\left(x\right){\mathrm{e}}^x$，讨论 $g\left(x\right)$ 的单调性．标注答案$g\left(x\right)$ 在 $\left(-\infty,-4\right)$ 和 $\left(-1,0\right)$ 内为减函数，在 $\left(-4,-1\right)$ 和 $\left(0,+\infty\right)$ 内为增函数．解析本题中 $g\left(x\right)$ 求导后决定导函数正负的核心函数是一个三次函数，解一个三次不等式即可得到所求函数的增减区间．由（1）得 $g\left(x\right)=\left(\dfrac 12x^3+x^2\right){\mathrm{e}}^x$，
故 $g'\left(x\right)=\dfrac 12x\left(x+1\right)\left(x+4\right){\mathrm{e}}^x$．
令 $g'\left(x\right)>0$，解得 $-4<x<-1$ 或 $x>0$．
令 $g'\left(x\right)<0$，解得 $x<-4$ 或 $-1<x<0$．
所以，$g\left(x\right)$ 在 $\left(-\infty,-4\right)$ 和 $\left(-1,0\right)$ 内为减函数，在 $\left(-4,-1\right)$ 和 $\left(0,+\infty\right)$ 内为增函数．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
