如图，三棱锥 $P-ABC$ 中，$平面PAC\perp 平面ABC$，$\angle ABC=\dfrac{\mathrm \pi} {2}$，点 $D$，$E$ 在线段 $AC$ 上，且 $AD=DE=EC=2$，$PD=PC=4$，点 $F$ 在线段 $AB$ 上，且 $EF\parallel BC$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
证明：$AB\perp 平面PFE$；标注答案略．解析本题证明 $AB$ 分别与 $PE$ 和 $EF$ 垂直即可．由 $DE=EC$，$PD=PC$ 知，$E$ 为等腰 $\triangle PDC$ 中 $DC$ 边的中点，故 $PE\perp AC$．
又 $平面PAC\perp 平面ABC$，$平面PAC\cap 平面ABC=AC$，$PE\subset 平面PAC$，$PE\perp AC$，
所以 $PE\perp 平面ABC$，从而 $PE\perp AB$．
因为 $\angle ABC=\dfrac{\mathrm \pi} {2}$，$EF\parallel BC$，所以 $AB\perp EF$．
从而 $AB$ 与平面 $PFE$ 内两条相交直线 $PE$，$EF$ 都垂直，
所以 $AB\perp 平面PFE$． -
若四棱锥 $P-DFBC$ 的体积为 $7$，求线段 $BC$ 的长．标注答案$BC=3$ 或 $BC=3\sqrt 3$．解析在求四棱锥 $P-DFBC$ 的底面 $DFBC$ 的面积时，我们用 $\triangle ABC$ 的面积减去 $\triangle ADF$ 的面积即可．设 $BC=x$，则在 $\mathrm {Rt}\triangle ABC$ 中，\[AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{36-x^2},\]从而\[S_{\triangle ABC}=\dfrac 12 AB\cdot BC=\dfrac 12x\sqrt{36-x^2}.\]因为 $EF\parallel BC$，所以 $\triangle AFE\backsim \triangle ABC$，$\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=\dfrac 23$，故 $\dfrac{S_{\triangle AFE}}{S_{\triangle ABC}}=\left(\dfrac 23\right)^2=\dfrac 49$，即\[S_{\triangle AFE}=\dfrac 49 S_{\triangle ABC}.\]因为 $AD=\dfrac 12AE$，所以\[\begin{split}S_{\triangle AFD}&=\dfrac 12S_{\triangle AFE}\\&=\dfrac 12\times \dfrac 49S_{\triangle ABC}\\&=\dfrac 29S_{\triangle ABC}\\&=\dfrac 19x\sqrt{36-x^2},\end{split}\]从而四边形 $DFBC$ 的面积为\[S_{四边形DFBC}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle AFD}=\dfrac{7}{18}x\sqrt{36-x^2}.\]由（1）知 $PE\perp 平面ABC$，所以 $PE$ 为四棱锥$P-DFBC$ 的高．
在 $\mathrm {Rt}\triangle PEC$ 中，$PE=\sqrt{PC^2-EC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt 3$，根据棱锥体积公式可得\[V_{四棱锥P-DFBC}=\dfrac 13S_{四边形DFBC}\cdot PE=\dfrac 13\times\dfrac{7}{18}x\sqrt{36-x^2}\times 2\sqrt 3=7,\]所以 $x^4-36x^2+243=0$，解得 $x^2=9$ 或 $x^2=27$．由于 $x>0$，因此 $x=3$ 或 $x=3\sqrt 3$．所以 $BC=3$ 或 $BC=3\sqrt 3$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
