已知椭圆 $\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$ 的左焦点为 $F\left(-c,0\right)$，离心率为 $\dfrac {\sqrt 3}{3}$，点 $M$ 在椭圆上且位于第一象限，直线 $FM$ 被圆 $x^2+y^2=\dfrac {b^2}{4}$ 截得的线段的长为 $c$，$ \left|FM \right|=\dfrac {4\sqrt 3}{3}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求直线 $FM$ 的斜率；标注答案$\dfrac {\sqrt 3}{3}$解析本小题主要考查椭圆的基本量与方程以及直线与圆的位置关系．由已知，有 $\dfrac {c^2}{a^2}=\dfrac 13$，
又由 $a^2=b^2+c^2$，可得\[a^2=3c^2,b^2=2c^2.\]设直线 $FM$ 的斜率为 $k\left(k>0\right)$，则直线 $FM$ 的方程为 $y=k\left(x+c\right)$．
由已知，结合直线与圆的位置关系有\[\left(\dfrac { \left|kc \right|}{\sqrt {k^2+1}}\right)^2+\left(\dfrac c2\right)^2=\left(\dfrac b2\right)^2,\]解得 $k=\dfrac {\sqrt 3}{3}$． -
求椭圆的方程；标注答案$\dfrac {x^2}{3}+\dfrac {y^2}{2}=1$解析本小题合理转化条件 " $ \left|FM \right|=\dfrac {4\sqrt 3}{3}$ "即可．如设出直线方程，与椭圆方程联立后表达出 $ \left|FM \right|$；也可以利用椭圆的第一定义和解三角形解决．由（1）得椭圆方程为 $\dfrac {x^2}{3c^2}+\dfrac {y^2}{2c^2}=1$，直线 $FM$ 的方程为 $y=\dfrac {\sqrt 3}{3}\left(x+c\right)$，
两个方程联立，消去 $y$，整理得\[3x^2+2cx-5c^2=0.\]解得 $x=-\dfrac 53c$ 或 $x=c$．
因为点 $M$ 在第一象限，
所以点 $M$ 的坐标为 $\left(c,\dfrac {2\sqrt 3}{3}c\right)$．
由 $ \left|FM \right|=\sqrt {\left(c+c\right)^2+\left(\dfrac {2\sqrt 3}{3}c-0\right)^2}=\dfrac {4\sqrt 3}{3}$，解得 $c=1$，
所以椭圆的方程为 $\dfrac {x^2}{3}+\dfrac {y^2}{2}=1$． -
设动点 $P$ 在椭圆上，若直线 $FP$ 的斜率大于 $\sqrt 2$，求直线 $OP$（$O$ 为原点）的斜率的取值范围．标注答案$\left(-\infty,-\dfrac {2\sqrt 3}{3}\right)\cup \left(\dfrac {\sqrt 2}{3},\dfrac {2\sqrt 3}{3}\right)$解析设出点 $P$ 坐标，因为点 $P$ 既在椭圆上又在直线 $FP$、$OP$ 上，所以自然想到用两次联立来解决．设点 $P$ 的坐标为 $\left(x,y\right)$，直线 $FP$ 的斜率为 $t$，即 $t=\dfrac {y}{x+1}$，则直线 $FP$ 的方程为 $y=t\left(x+1\right)\left(x\neq -1\right)$，
与椭圆方程联立$\begin{cases}
y=t\left(x+1\right), \\ \dfrac {x^2}{3}+\dfrac {y^2}{2}=1,
\end{cases}$ 消去 $y$，整理得\[2x^2+3t^2\left(x+1\right)^2=6.\]又由已知，得 $t=\sqrt {\dfrac {6-2x^2}{3\left(x+1\right)^2}}>\sqrt 2$，解得 $-\dfrac 32<x<-1$，或 $-1<x<0$．
设直线 $OP$ 的斜率为 $m$，得 $m=\dfrac {y}{x}$，即 $y=mx\left(x\neq 0\right)$，与椭圆方程联立，整理可得\[m^2=\dfrac {2}{x^2}-\dfrac 23.\]① 当 $x\in \left(-\dfrac 32,-1\right)$ 时，有 $y=t\left(x+1\right)<0$，因此 $m>0$，
于是 $m=\sqrt {\dfrac {2}{x^2}-\dfrac 23 }$，得 $m\in \left(\dfrac {\sqrt 2}{3},\dfrac {2\sqrt 3}{3}\right)$．
② 当 $x\in \left(-1,0\right)$ 时，有 $y=t\left(x+1\right)>0$，因此 $m<0$，
于是 $m=-\sqrt {\dfrac {2}{x^2}-\dfrac 23}$，得 $m\in \left(-\infty,-\dfrac {2\sqrt 3}{3}\right)$．
综上，直线 $OP$ 的斜率的取值范围是 $\left(-\infty,-\dfrac {2\sqrt 3}{3}\right)\cup \left(\dfrac {\sqrt 2}{3},\dfrac {2\sqrt 3}{3}\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
