设函数 $f(x)=3x{\rm e}^x$，若存在唯一的整数 $x_0$，使得 $f(x_0)<kx_0-k$，则 $k$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
题中不等式即\[(x_0-1)k-f(x_0)>0,\]进行一些试探\[\begin{array} {c|cc}\hline
x&k&\\ \hline
0&-k-0>0&0\\ \hline
2&k-6{\rm e}^2>0&6{\rm e}^2\\ \hline
\geqslant 3&&>6{\rm e}^2\\ \hline
-1&-2k+3{\rm e}^{-1}>0&\dfrac 32{\rm e}^{-1}\\ \hline
-2&-3k+6{\rm e}^{-2}>0&2{\rm e}^{-2}\\ \hline
\leqslant -2&&<2{\rm e}^{-2}\\ \hline
\end{array}\]于是符合题意的唯一整数 $x_0=-1$ 且 $k$ 的取值范围是 $\left[2{\rm e}^{-2},\dfrac 32{\rm e}^{-2}\right)$．
x&k&\\ \hline
0&-k-0>0&0\\ \hline
2&k-6{\rm e}^2>0&6{\rm e}^2\\ \hline
\geqslant 3&&>6{\rm e}^2\\ \hline
-1&-2k+3{\rm e}^{-1}>0&\dfrac 32{\rm e}^{-1}\\ \hline
-2&-3k+6{\rm e}^{-2}>0&2{\rm e}^{-2}\\ \hline
\leqslant -2&&<2{\rm e}^{-2}\\ \hline
\end{array}\]于是符合题意的唯一整数 $x_0=-1$ 且 $k$ 的取值范围是 $\left[2{\rm e}^{-2},\dfrac 32{\rm e}^{-2}\right)$．
题目
答案
解析
备注
