题目 已知过点 $A\left(0,1\right)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与圆 $C:\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2=1$ 交于 $M$，$N$ 两点． 问题1 求 $k$ 的取值范围； 答案1 $\left(\dfrac{4-\sqrt 7}{3},\dfrac{4+\sqrt 7}{3}\right)$ 解析1 处理直线与圆相交的问题一般考虑半径与弦心距的关系，注意点到直线的距离公式要正确使用．由题设，可知直线 $l$ 的方程为 $y = kx + 1$．<br/>因为直线 $l$ 与圆 $C$ 交于两点，<br/>所以圆心到直线的距离 $d=\dfrac{|2k-3+1|}{\sqrt{1+k^2}}<1$，<br/>解得 $\dfrac{4-\sqrt 7}{3}<k<\dfrac{4+\sqrt 7}{3}$．<br/>所以 $k$ 的取值范围为 $\left(\dfrac{4-\sqrt 7}{3},\dfrac{4+\sqrt 7}{3}\right)$． 备注1 问题2 若 $\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=12$，其中 $O$ 为坐标原点，求 $\left|MN\right|$． 答案2 $2$ 解析2 根据 $\overrightarrow {OM}\cdot\overrightarrow {ON}=12$ 结合韦达定理，确定直线的斜率，然后计算此弦长．设 $M\left(x_1,y_1\right)$，$N\left(x_2,y_2\right)$．<br/>将 $y=kx+1$ 代入方程 $\left(x-2\right)^2+\left(y-3\right)^2=1$，整理得\[\left(1+k^2\right)x^2-4\left(1+k\right)x+7=0.\]所以\[\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{4\left(1+k\right)}{1+k^2} ,\\ x_1x_2=\dfrac{7}{1+k^2}.\end{cases}\]所以\[\begin{split}\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}&\overset{\left[a\right]}=x_1x_2+y_1y_2\\&=\left(1+k^2\right)x_1x_2+k\left(x_1+x_2\right)+1\\&=\dfrac{4k\left(1+k\right)}{1+k^2}+8.\end{split}\]（推导中用到：$\left[a\right]$）<br/>由题设可得\[\dfrac{4k\left(1+k\right)}{1+k^2}+8=12,\]解得 $k=1$，所以 $l$ 的方程是 $y=x+1$．<br/>可知圆心 $C\left(2,3\right)$ 在 $l$ 上，所以 $\left|MN\right|=2$． 备注2