题目 设函数 $f\left(x\right)={\mathrm e}^{2x}-a\ln x$． 问题1 讨论 $f\left(x\right)$ 的导函数 $f'\left(x\right)$ 零点的个数； 答案1 当 $a\leqslant 0$ 时，$f'\left(x\right)$ 没有零点；<br/>当 $a>0$ 时，$f'\left(x\right)$ 存在唯一零点． 解析1 确定零点个数的问题首先要确定目标函数的单调性，然后结合其值域，确定零点个数．$f\left(x\right)$ 的定义域为 $\left(0,+\infty\right)$，求导得\[f'\left(x\right)=2{\mathrm e}^{2x}-\dfrac{a}{x}\left(x>0\right).\]设 $u\left(x\right)={\mathrm e}^{2x}$，$v\left(x\right)=-\dfrac ax$．<br/>当 $a\leqslant 0$ 时，$u\left(x\right)={\mathrm e}^{2x}>0$，$v\left(x\right)=-\dfrac ax\geqslant 0$，所以 $f'\left(x\right)>0$ 恒成立，故 $f'\left(x\right)$ 没有零点；<br/>当 $a>0$ 时，因为 $u\left(x\right)={\mathrm e}^{2x}$ 在 $\left(0,+\infty\right)$ 上单调递增，$v\left(x\right)=-\dfrac ax$ 在 $\left(0,+\infty\right)$ 上单调递增，<br/>所以 $f'\left(x\right)$ 在 $\left(0,+\infty\right)$ 上单调递增，<br/>又 $f'\left(a\right)=2\mathrm e^{2a}-1>0$，<br/>当 $b$ 满足 $0<b<\dfrac{a}{4}$ 且 $b<\dfrac{1}{4}$ 时，$f'\left(b\right)<0$，<br/>所以当 $a>0$ 时，$f'\left(x\right)$ 存在唯一零点． 备注1 问题2 证明：当 $a>0$ 时，$f\left(x\right)\geqslant 2a+a\ln\dfrac{2}{a}$． 答案2 略 解析2 此问题的关键在于函数 $f\left(x\right)$ 取得最小值时满足不等式，即求解 $f\left(x\right)$ 的最小值；求解时要结合前面问题的结论分析此时函数的单调性进而求解．由（1），可设 $f'\left(x\right)$ 在 $\left(0,+\infty\right)$ 的唯一零点为 $x_0$．<br/>当 $x\in\left(0,x_0\right)$ 时，$f'\left(x\right)<0$；<br/>当 $x\in\left(x_0,+\infty\right)$ 时，$f'\left(x\right)>0$．<br/>故 $f\left(x\right)$ 在 $\left(0,x_0\right)$ 单调递减，在 $\left(x_0,+\infty\right)$ 单调递增，<br/>所以当 $x=x_0$ 时，$f\left(x\right)$ 取得最小值，最小值为 $f\left(x_0\right)$．<br/>由于 $2{\mathrm e}^{2x_0}-\dfrac{a}{x_0}=0$，<br/>所以\[\begin{split}f\left(x_0\right)&=\dfrac{a}{2x_0}+2ax_0+a\ln\dfrac{2}{a}\\&\overset{\left[a\right]}\geqslant 2a+a\ln\dfrac{2}{a}.\end{split}\]（推导中用到：$\left[a\right]$）<br/>故当 $a>0$ 时，$f\left(x\right)\geqslant 2a+a\ln\dfrac{2}{a}$． 备注2