$y=\pm\sqrt ax-a$

该曲线可视为二次函数，利用导数解决其切线问题．当 $k=0$ 时，点 $M$、$N$ 的坐标分别为 $M \left(2\sqrt a,a\right)$，$ N\left(-2\sqrt a,a\right) $，或 $M \left(-2\sqrt a,a\right)$，$ N\left(2\sqrt a,a\right) $．
因为 $y'=\dfrac{x}{2} $，
所以 $y=\dfrac{x^2}{4}$ 在点 $ \left(2\sqrt a,a\right)$ 处切线的斜率为\[y'|_{x=2\sqrt a }=\sqrt a,\]故 $y=\dfrac{x^2}{4}$ 在点 $ \left(2\sqrt a,a\right)$ 处切线的方程为\[y-a=\sqrt a\left(x-2\sqrt a\right).\]即 $y=\sqrt ax-a$．
同理，$y=\dfrac{x^2}{4}$ 在点 $ \left(-2\sqrt a,a\right)$ 处切线的斜率为\[y'|_{x=-2\sqrt a }=-\sqrt a,\]故 $y=\dfrac{x^2}{4}$ 在点 $ \left(-2\sqrt a,a\right)$ 处切线的方程为\[y-a=-\sqrt a\left(x+2\sqrt a\right).\]即 $y=-\sqrt ax-a$．
故所求的切线方程为 $y=\pm\sqrt ax-a$．

存在，点 $P$ 的坐标为 $\left(0,-a\right)$．

本题中角度问题利用直线的斜率进行转化，结合韦达定理来进行分析．假设存在点 $ P $ 使得 $\angle OPM=\angle OPN$，则直线 $OM$ 与直线 $ON$ 关于 $y$ 轴对称，即\[k_{MP}+k_{NP}=0 .\]设 $M\left(m,\dfrac{m^2}{4}\right)$，$N\left(n,\dfrac{n^2}{4}\right)$，$P\left(0,y_0\right) $．
联立直线 $l:y=kx+a\left(a>0\right)$ 与抛物线方程\[\begin{cases}y=kx+a,\\y=\dfrac{x^2}{4},\end{cases} \]整理得\[x^2-4kx-4a=0,\]于是\[ \begin{cases}m+n=4k,\\ mn=-4a . \end{cases}\]此时直线 $MP$ 的斜率\[\begin{split}k_{MP}&=\dfrac{\dfrac{m^2}{4}-y_0}{m-0}\\&=\dfrac m4-\dfrac {y_0}{m} . \end{split}\]同理直线 $NP$ 的斜率\[k_{NP}= \dfrac n4-\dfrac {y_0}{n} , \]所以这两条直线的斜率之和\[ \begin{split}k_{MP}+k_{NP}&=\dfrac{m+n}{4}-\dfrac{y_{0}\left(m+n\right)}{mn}\\&=\dfrac{4k}{4}-\dfrac{y_0\cdot 4k}{-4a}\\&=\dfrac{k\left(a+y_0\right)}{a} ,\end{split} \]令 $\dfrac{k\left(a+y_0\right)}{a} =0 $，解得 $ y_0=-a $，
所以当点 $ P $ 取 $ \left(0,-a\right) $ 时，$\angle OPM=\angle OPN$，与 $k$ 的取值无关．