$-\dfrac 34$

利用导数解决函数切线相关问题时，题目没有给出切点的应首先设切点，根据导数与切线关系得到等式结合题目条件解决问题．根据已知，$f'\left(x\right)=3x^2+a$．若 $x$ 轴为曲线 $y=f\left(x\right)$ 的切线，设切点横坐标为 $t$，则有\[ \begin{cases}f\left(t\right)=0,\\f'\left(t\right)=0,\end{cases} \]即\[ \begin{cases}t^3+at+\dfrac 14=0,\\3t^2+a=0,\end{cases} \]解得\[ t=\dfrac 12,a=-\dfrac 34. \]所以当 $a$ 的值为 $-\dfrac 34$ 时，$x$ 轴为曲线 $y=f\left(x\right)$ 的切线．

当 $ a<-\dfrac 54$ 或 $ a>-\dfrac 34 $ 时，$h\left(x\right) $ 有一个零点；
当 $ a=-\dfrac 54$ 或 $ a=-\dfrac 34 $ 时，$h\left(x\right) $ 有两个零点；
当 $ -\dfrac 54<a<-\dfrac 34 $ 时，$h\left(x\right) $ 有三个零点．

注意到函数 $g\left(x\right)=-\ln x$ 图象特点，本题解决关键为在区间 $\left(0,1\right)$ 上函数 $f\left(x\right)=x^3+ax+\dfrac 14$ 的零点个数问题，通过判断 $f\left(x\right)$ 单调性，结合极值符号研究 $f\left(x\right)$ 零点个数．当 $x\in \left(1,+\infty\right)$ 时，$g\left(x\right)=-\ln x<0$，从而\[ h\left(x\right)=\min\left\{f\left(x\right),g\left(x\right)\right\}\leqslant g\left(x\right)<0,\]故 $h\left(x\right)$ 在 $\left(1,+\infty\right)$ 上无零点．
当 $x=1$ 时，若 $a\geqslant -\dfrac 54$，则 $f\left(1\right)=a+\dfrac 54\geqslant 0$，\[h\left(1\right)=\min\left\{f\left(1\right),g\left(1\right)\right\}=g\left(1\right)=0,\]故 $x=1$ 是 $h\left(x\right)$ 的零点；
若 $a<-\dfrac 54$，则 $f\left(1\right)<0$，\[h\left(1\right)=\min\left\{f\left(1\right),g\left(1\right)\right\}=f\left(1\right)<0,\]故 $x=1$ 不是 $h\left(x\right)$ 的零点．
当 $x\in\left(0,1\right)$ 时，$g\left(x\right)=-\ln x>0$，所以只需考虑 $f\left(x\right)$ 在 $\left(0,1\right)$ 的零点个数．
（1）若 $a\leqslant -3$ 或 $a\geqslant 0$，则 $f'\left(x\right)=3x^2+a$ 在 $\left(0,1\right)$ 上无零点，故 $f\left(x\right)$ 在 $\left(0,1\right)$ 上单调．
而 $f\left(0\right)=\dfrac 14$，$f\left(1\right)=a+\dfrac 54$，所以当 $a\leqslant -3$ 时，$f\left(x\right)$ 在 $\left(0,1\right)$ 上有一个零点；
当 $a\geqslant 0$ 时，$f\left(x\right)$ 在 $\left(0,1\right)$ 上没有零点．
（2）若 $-3<a<0$，则 $f\left(x\right)$ 在 $\left(0,\sqrt{-\dfrac a3}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\sqrt{-\dfrac a3},1\right)$ 上单调递增，故在 $\left(0,1\right)$ 中，当 $x=\sqrt{-\dfrac a3}$ 时，$f\left(x\right)$ 取得最小值，最小值为\[f\left(\sqrt{-\dfrac a3}\right)=\dfrac{2a}{3}\sqrt{-\dfrac a3}+\dfrac 14.\]① 若 $f\left(\sqrt{-\dfrac a3}\right)>0 $，即 $ -\dfrac 34<a<0$，$f\left(x\right)$ 在 $\left(0,1\right)$ 上没有零点；
② 若 $f\left(\sqrt{-\dfrac a3}\right)=0 $，即 $a=-\dfrac 34$，则 $f\left(x\right)$ 在 $\left(0,1\right)$ 上有一个零点；
③ 若 $f\left(\sqrt{-\dfrac a3}\right)<0 $，即 $-3<a<-\dfrac 34$，由于 $f\left(0\right)=\dfrac 14$，$f\left(1\right)=a+\dfrac 54$，所以当 $-\dfrac 54<a<-\dfrac 34$ 时，$f\left(x\right)$ 在 $\left(0,1\right)$ 上有两个零点；
当 $-3<a\leqslant -\dfrac 54$ 时，$f\left(x\right)$ 在 $\left(0,1\right)$ 上有一个零点．
综上，当 $ a<-\dfrac 54$ 或 $ a>-\dfrac 34 $ 时，$h\left(x\right) $ 有一个零点；
当 $ a=-\dfrac 54$ 或 $ a=-\dfrac 34 $ 时，$h\left(x\right) $ 有两个零点；
当 $ -\dfrac 54<a<-\dfrac 34 $ 时，$h\left(x\right) $ 有三个零点．