$ {a_n} = 3n\left(n = 1,2, \cdots \right) $；$ {b_n} = 3n + {2^{n - 1}}\left(n = 1,2, \cdots \right) $

利用基本量法计算 $\left\{a_n\right\}$ 的公差，解决数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；利用 $\left\{ {{b_n} - {a_n}} \right\}$ 成等比，得到 $\left\{ {{b_n} - {a_n}} \right\}$ 的通项公式，进而计算 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式．设等差数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的公差为 $d$，由题意得：\[d \overset{\left[a\right]}= \dfrac{{{a_4} - {a_1}}}{3} = \dfrac{12 - 3}{3} = 3,\]所以\[{a_n} \overset{\left[a\right]}= {a_1} + \left(n - 1\right)d = 3n\left(n = 1,2, \cdots \right),\]（推导中用到：$\left[a\right]$）
设等比数列 $\left\{ {{b_n} - {a_n}} \right\}$ 的公比为 $q$，由题意得：\[{q^3} \overset{\left[b\right]}= \dfrac{{{b_4} - {a_4}}}{{{b_1} - {a_1}}} = \dfrac{20 - 12}{4 - 3} = 8,\]解得 $q = 2$．所以\[{b_n} - {a_n} \overset{\left[b\right]}= \left({b_1} - {a_1}\right){q^{n - 1}} = {2^{n - 1}},\]（推导中用到：$\left[b\right]$）
从而\[{b_n} = 3n + {2^{n - 1}}\left(n = 1,2, \cdots \right).\]

$ \dfrac{3}{2}n\left(n + 1\right) + {2^n} - 1 $

考虑到数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式是由等差数列和等比数列通项公式之和构成，因此其数列的和由等差数列求和以及等比数列求和公式分成两个部分进行计算．由（1）知，\[{b_n} = 3n + {2^{n - 1}}\left(n = 1,2, \cdots \right),\]数列 $\left\{ {3n} \right\}$ 的前 $ n $ 项和为 $\dfrac{3}{2}n\left(n + 1\right)$，数列 $\left\{ {{2^{n - 1}}} \right\}$ 的前 $ n $ 项和为\[1 \times \dfrac{{1 - {2^n}}}{1 - 2} = {2^n} - 1,\]所以数列 $\left\{ {b_n} \right\}$ 的前 $ n $ 项和为\[\dfrac{3}{2}n\left(n + 1\right) + {2^n} - 1.\]