如图，在三棱柱 $ABC - {A_1}{B_1}{C_1}$ 中，侧棱垂直于底面，$AB \perp BC$，$A{A_1} = AC = 2$，$ BC = 1$，$E$，$F$ 分别为 ${A_1}{C_1}$，$BC$ 的中点．
【难度】
【出处】
2014年高考北京卷（文）
【标注】
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求证：平面 $ABE \perp $ 平面 ${B_1}BC{C_1}$；标注答案略解析根据面面垂直的判定定理，寻找其中一个面上垂直另一个面的直线即可．在三棱柱 $ABC - {A_1}{B_1}{C_1}$ 中，$B{B_1} \perp $ 底面 $ ABC $，
所以 $B{B_1} \perp AB$．
又因为 $ AB\perp BC $，
所以 $ AB\perp $ 平面 ${B_1}BC{C_1}$．
而 $ AB\subset 平面ABE $，
所以平面 $ABE \perp $ 平面 ${B_1}BC{C_1}$． -
求证：${C_1}F \parallel $ 平面 $ABE$；标注答案略解析根据线面平行的判定定理，找出 平面 $ ABE $ 上与直线 ${C_1}F$ 平行的直线即可．如图，取 $ AB $ 中点 $ G $，连接 $ EG$，$FG $．
因为 $ E$，$F $ 分别是 ${A_1}{C_1}$，$BC$ 的中点，
所以 $ FG\parallel AC $，且 $FG=\dfrac{1}{2}AC$．
因为 $AC\parallel {A_1}{C_1}$，且 $AC={A_1}{C_1}$，
所以 $FG\parallel E{C_1}$，且 $FG=E{C_1}$，
因此四边形 $FGE{C_1}$ 为平行四边形，
所以 ${C_1}F \parallel EG$，
又因为 $EG \subset $ 平面 $ ABE $，${C_1}F \not\subset $ 平面 $ ABE $，
所以 ${C_1}F \parallel $ 平面 $ABE$． -
求三棱锥 $E - ABC$ 的体积．标注答案$ \dfrac{\sqrt 3 }{3} $解析本题考查三棱锥的体积计算公式．因为 $A{A_1} =AC=2$，$BC=1$，$ AB\perp BC $，所
以\[AB=\sqrt {A{C^2} - B{C^2}} = \sqrt 3 ,\]所以三棱锥 $E - ABC$ 的体积为：\[\begin{split}V & = \dfrac{1}{3}{S_{\triangle ABC}} \cdot A{A_1} \\& = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} \times \sqrt 3 \times 1 \times 2 \\& = \dfrac{\sqrt 3 }{3}.\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
