$ \sqrt 2 $

本题考查利用导数确定函数最值的相关问题．由 $f\left(x\right) = 2{x^3} - 3x$ 得\[f'\left(x\right) = 6{x^2} - 3,\]令 $f'\left(x\right) = 0$，得\[x = - \dfrac{\sqrt 2 }{2} 或 x = \dfrac{\sqrt 2 }{2},\]因为\[\begin{split}f\left( - 2\right) & = - 10 ,\\ f\left( - \dfrac{\sqrt 2 }{2}\right) & = \sqrt 2 , \\ f\left(\dfrac{\sqrt 2 }{2}\right) & = - \sqrt 2 , \\ f\left(1\right) & = - 1,\end{split}\]所以 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[ - 2,1\right]$ 上的最大值为\[f\left( - \dfrac{\sqrt 2 }{2}\right) = \sqrt 2 .\]

$\left( - 3, - 1\right)$

本题实质为确定曲线上3个不同的点，使得过此点的切线经过点 $P$，即判断切点横坐标所满足的方程有三个不同的解的问题．设过点 $ P\left(1,t\right) $ 的直线与曲线 $y = f\left(x\right)$ 相切于点 $\left({x_0},{y_0}\right)$，则\[{y_0} = 2x_0^3 - 3{x_0},\]且切线斜率为 $k = 6x_0^2 - 3$，所以切线方程为\[y - {y_0} = \left(6x_0^2 - 3\right)\left(x - {x_0}\right),\]因此 $t - {y_0} = \left(6{x_0}^2 - 3\right)\left(1 - {x_0}\right)$，整理得\[4x_0^3 - 6x_0^2 + t + 3 = 0,\]设 $g\left(x\right) = $ $4{x^3} - 6{x^2} + t + 3$，则"过点 $P\left(1,t\right)$ 存在 $ 3 $ 条直线与曲线 $y = f\left(x\right)$ 相切"等价于" $g\left(x\right)$ 有 $ 3 $ 个不同零点"．\[ g '\left(x\right) = 12{x^2} - 12x = 12x\left(x - 1\right),\]$g\left(x\right)$ 与 $ g'\left(x\right)$ 的情况如下：\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline
x & \left(-\infty,0\right)& 0 & \left(0,1\right)& 1 & \left(1,+\infty\right)\\ \hline
g'\left(x\right)& + & 0 & - & 0 & + \\ \hline
g\left(x\right)& ↗ & t+3 & ↘ & t+1 & ↗ \\ \hline \end{array} \]所以 $g\left(0\right) = t + 3$ 是 $g\left(x\right)$ 的极大值，$g\left(1\right) = t + 1$ 是 $g\left(x\right)$ 的极小值．
当 $g\left(0\right) = t + 3 \leqslant 0$，即 $t \leqslant - 3$ 时，此时 $g\left(x\right)$ 在区间 $\left( - \infty ,1\right]$ 和 $\left(1, + \infty \right)$ 上分别至多有 $ 1 $ 个零点，所以 $g\left(x\right)$ 至多有 $ 2 $ 个零点．
当 $g\left(1\right) = t + 1 \geqslant 0$，即 $t \geqslant - 1$ 时，此时 $g\left(x\right)$ 在区间 $\left( - \infty ,0\right)$ 和 $\left[0, + \infty \right)$ 上分别至多有 $ 1 $ 个零点，所以 $g\left(x\right)$ 至多有 $ 2 $ 个零点．
当 $g\left(0\right) > 0$ 且 $g\left(1\right) < 0$，即 $ - 3 < t < - 1$ 时，因为\[\begin{cases}\begin{split}g\left( - 1\right) & = t - 7 < 0 , \\ g\left(2\right) & = t + 11 > 0,\end{split}\end{cases}\]所以 $g\left(x\right)$ 分别在区间 $\left[ - 1,0\right)$，$\left[0,1\right)$ 和 $\left[1,2\right)$ 上恰有 $ 1 $ 个零点，
由于 $g\left(x\right)$ 在区间 $\left( - \infty ,0\right)$ 和 $\left(1, + \infty \right)$ 上单调，所以 $g\left(x\right)$ 分别在区间 $\left( - \infty ,0\right)$ 和 $\left[1, + \infty \right)$ 上恰有 $ 1 $ 个零点．
综上可知，当过点 $P\left(1,t\right)$ 存在 $ 3 $ 条直线与曲线 $y = f\left(x\right)$ 相切时，$ t $ 的取值范围是 $\left( - 3, - 1\right)$．

过点 $ A\left(-1,2\right) $ 存在 $ 3 $ 条直线与曲线 $y = f\left(x\right)$ 相切；
过点 $ B\left(2,10\right) $ 存在 $ 2 $ 条直线与曲线 $y = f\left(x\right)$ 相切；
过点 $ C\left(0,2\right) $ 存在 $ 1 $ 条直线与曲线 $y = f\left(x\right)$ 相切．

本题考查三次函数图象的性质，可画图进行分析切线的个数．过点 $ A\left(-1,2\right) $ 存在 $ 3 $ 条直线与曲线 $y = f\left(x\right)$ 相切；
过点 $ B\left(2,10\right) $ 存在 $ 2 $ 条直线与曲线 $y = f\left(x\right)$ 相切；
过点 $ C\left(0,2\right) $ 存在 $ 1 $ 条直线与曲线 $y = f\left(x\right)$ 相切．