在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$．已知 $\triangle ABC$ 的面积为 $3\sqrt {15}$，$b-c=2$，$\cos A=-\dfrac 14$．
【难度】
【出处】
2015年高考天津卷（文）
【标注】
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求 $a$ 和 $\sin C$ 的值；标注答案$a=8$；$\sin C=\dfrac {\sqrt {15}}{8}$解析本小题考查正余弦定理和三角形面积公式的综合运用．由余弦定理知 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，其中 $ \cos A$ 的值是已知的，所以只要求出 $b^2+c^2$ 和 $bc$ 的值即可求 $a$ 的值．在 $\triangle ABC$ 中，$\cos A=-\dfrac 14$，可得 $\sin A=\dfrac {\sqrt {15}}{4}$．
由 $S_{\triangle ABC}=\dfrac 12bc\sin A=3\sqrt {15}$，得\[bc=24.\]又由 $b-c=2$，解得 $b=6$，$c=4$．
由 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，可得 $a=8$．
由 $\dfrac {a}{\sin A}= \dfrac {c}{\sin C}$，得 $\sin C=\dfrac {\sqrt {15}}{8}$． -
求 $\cos \left(2A+\dfrac {\mathrm \pi} {6}\right)$ 的值．标注答案$\dfrac {\sqrt {15}-7\sqrt 3}{16}$解析展开后用二倍角公式化简即可．化简得\[\begin{split}\cos \left(2A+\dfrac {\mathrm \pi} {6}\right)&\overset{\left[a\right]}=\cos {2A}\cdot \cos {\dfrac {\mathrm \pi} {6}}-\sin {2A}\cdot \sin {\dfrac {\mathrm \pi} {6}}\\&\overset{\left[b\right]}=\dfrac {\sqrt 3}{2}\left(2\cos ^2A-1\right)-\sin A\cdot \cos A\\&=\dfrac {\sqrt {15}-7\sqrt 3}{16} .\end{split}\]（推导中用到 $\left[a\right]$，$\left[b\right]$）
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
