题目 已知 $\left\{a_n\right\}$ 是各项均为正数的等比数列，$\left\{b_n\right\}$ 是等差数列，且 $a_1=b_1=1$，$b_2+b_3=2a_3$，$a_5-3b_2=7$． 问题1 求 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式； 答案1 $a_n=2^{n-1},n\in \mathbb N^*$；$b_n=2n-1,n\in \mathbb N^*$ 解析1 本小题是等差数列和等比数列的基本量问题．设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公比为 $q$，数列 $\left\{b_n\right\}$ 的公差为 $d$，由题意，结合等比数列、等差数列的相关公式，得\[\begin{cases}<br/>2+3d=2q^2, \\ q^4-3d-3=7,<br/>\end{cases}\]消去 $d$，整理得 $q^4-2q^2-8=0$，解得 $q^2=4$．<br/>又因为 $q>0$，所以 $q=2$，则 $d=2$．<br/>所以数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式为 $a_n=2^{n-1},n\in \mathbb N^*$；数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式为 $b_n=2n-1,n\in \mathbb N^*$． 备注1 问题2 设 $c_n=a_nb_n$，$n\in \mathbb N^*$，求数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $n$ 项和． 答案2 $\left(2n-3\right)\cdot 2^n+3,n\in \mathbb N^*$ 解析2 显然数列 $\left\{c_n\right\}$ 是一个等差数列与一个等比数列积的形式，所以考虑用错位相减法求其前 $n$ 项和．由（1）有 $c_n=\left(2n-1\right)\cdot 2^{n-1}$．<br/>可用错位相减法来求 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $n$ 项和．<br/>设 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，<br/>则\[\begin{split}&S_n=1\times 2^0+3\times 2^1+\cdots+\left(2n-1\right)\times 2^{n-1}\\&2S_n=1\times 2^1+3\times 2^2+\cdots+\left(2n-1\right)\times 2^{n},\end{split}\]上述两式相减，得\[\begin{split}-S_n&=1+2^2+2^3+\cdots +2^n-\left(2n-1\right)\times 2^{n}\\&\overset{\left[a\right]}=2^{n+1}-3-\left(2n-1\right)\cdot 2^n\\&=-\left(2n-3\right)\cdot 2^n-3,\end{split}\]（推导中用到[a]）<br/>所以，$S_n=\left(2n-3\right)\cdot 2^n+3,n\in \mathbb N^*$． 备注2