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设 $f\left( x \right) + f'\left( x \right) > 0$，当 $x > 0$ 时，一定有 \((\qquad)\)
A: $f\left( x \right) < f\left( 0 \right)$
B: $f\left( x \right) > f\left( 0 \right)$
C: ${{\rm{e}}^x}f\left( x \right) < f\left( 0 \right)$
D: ${{\rm{e}}^x}f\left( x \right) > f\left( 0 \right)$
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    导数的运算
    >
    导数原型
【答案】
D
【解析】
设 $g(x)={\rm e}^xf(x)$，则$$g'(x)={\rm e}^x\left(f\left( x \right) + f'\left( x \right)\right)>0,$$所以 $g(x)$ 在其定义域上单调递增．
又因为 $g(0)=f(0)=0$，所以当 $x>0$ 时，必有$$g(x)>g(0)=f(0)=0,$$即 ${{\rm{e}}^x}f\left( x \right) > f\left( 0 \right)$．
题目 答案 解析 备注
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