已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt2}{2}$，点 $\left(2,\sqrt2\right)$ 在 $C$ 上．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求 $C$ 的方程；标注答案$\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{4}=1$解析本小题是考查椭圆的基本量的问题．由题意有 $\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\dfrac{\sqrt2}{2}$，$\dfrac{4}{a^2}+\dfrac{2}{b^2}=1$，
解得 $a^2=8$，$b^2=4$，
所以 $C$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{4}=1$． -
直线 $l$ 不经过原点 $O$，且不平行于坐标轴，$l$ 与 $C$ 有两个交点 $A$，$B$，线段 $AB$ 中点为 $M$，证明：直线 $OM$ 的斜率与直线 $l$ 的斜率乘积为定值．标注答案定值为 $-\dfrac 12$，证明略解析有关弦的中点的问题，利用点差法进行消参往往可以简化运算；当然，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理也能解决．法一：设 $A\left(x_1,y_1\right)$，$B\left(x_2,y_2\right)$，$M\left(x_M,y_M\right)$．则\[ \begin{cases}x_1^2+2y_1^2=8, \quad \cdots \cdots ① \\x_2^2+2y_2^2=8 \quad \cdots \cdots ② ,\end{cases} \]$ ① - ② $ 并化简得\[\left(x_1+x_2\right)+2\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\cdot\left(y_1+y_2\right)=0,\]又 $x_1+x_2=2x_M,y_1+y_2=2y_M$，
所以 $2k_{l}=-\dfrac1{k_{OM}}$．即 $k_l\cdot k_{OM}=-\dfrac12 $，故直线 $OM$ 的斜率与直线 $l$ 的斜率的乘积为定值．
法二：
设直线 $l:y=kx+m\left(k\ne 0,m\ne 0\right)$，$A\left(x_1,y_1\right)$，$B\left(x_2,y_2\right)$，$M\left(x_M,y_M\right)$．
将 $y=kx+m$ 代入 $\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{4}=1$ 得\[\left(2k^2+1\right)x^2+4kmx+2m^2-8=0.\]故\[x_M\overset{\left[a\right]}=\dfrac{x_1+x_2}{2}\overset{\left[b\right]}=\dfrac{-2km}{2k^2+1},\]\[y_M=k\cdot x_M+m=\dfrac{m}{2k^2+1}.\]（推导中用到：$\left[a\right]$，$\left[b\right]$）
于是直线 $OM$ 的斜率 $k_{OM}=\dfrac{y_M}{x_M}=-\dfrac{1}{2k}$，所以\[k_l\cdot k_{OM}= k\cdot\left(-\dfrac{1}{2k}\right)=-\dfrac12 .\]所以直线 $OM$ 的斜率与直线 $l$ 的斜率的乘积为定值．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
