已知函数 $f\left(x\right)=\ln x+a\left(1-x\right)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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讨论 $f\left(x\right)$ 的单调性；标注答案略解析本小题属于利用导数研究含参函数的单调性问题，需要讨论导数的零点的位置进行讨论．$f\left(x\right)$ 的定义域为 $\left(0,+\infty\right)$，\[f'\left(x\right)=\dfrac{1}{x}-a.\]若 $a\leqslant 0$，则 $f'\left(x\right)>0$，所以单调递增．
若 $a>0$，则当 $x\in\left(0,\dfrac{1}{a}\right)$ 时，$f'\left(x\right)>0$；
当 $x\in\left(\dfrac{1}{a},+\infty\right)$ 时，$f'\left(x\right)<0$．
所以 $f\left(x\right)$ 在 $\left(0,\dfrac{1}{a}\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac{1}{a},+\infty\right)$ 上单调递减． -
当 $f\left(x\right)$ 有最大值，且最大值大于 $2a-2$ 时，求 $a$ 的取值范围．标注答案$\left(0,1\right)$解析本小题属于利用导数研究函数的最值问题，需结合第（1）问结论进行讨论．由（1）知，当 $a\leqslant 0$ 时，$f\left(x\right)$ 在 $\left(0,+\infty\right)$ 上无最大值；
当 $a>0$ 时，$f\left(x\right)$ 在 $x=\dfrac{1}{a}$ 处取得最大值，最大值为\[\begin{split}f\left(\dfrac{1}{a}\right)&=\ln\left(\dfrac{1}{a}\right)+a\left(1-\dfrac{1}{a}\right)\\&=-\ln a+a-1.\end{split}\]因此 $f\left(\dfrac{1}{a}\right)>2a-2$ 等价于 $\ln a+a-1<0$．
令 $g\left(a\right)=\ln a+a-1$，则 $g\left(a\right)$ 在 $\left(0,+\infty\right)$ 单调递增，$g\left(1\right)=0$．
于是，当 $0<a<1$ 时 $g\left(a\right)<0$；
当 $a>1$ 时，$g\left(a\right)>0$．
因此，$a$ 的取值范围是 $\left(0,1\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
