如图，椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$ 的左、右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，过 $F_2$ 的直线交椭圆于 $P$，$Q$ 两点，且 $PQ\perp PF_1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
若 ${\left|{PF_1}\right|}=2+\sqrt 2$，${\left|{PF_2}\right|}=2-\sqrt 2$，求椭圆的标准方程；标注答案$\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$．解析利用椭圆定义可求出 $2a$，在 $\triangle PF_1F_2$ 中应用勾股定理可求出 $2c$．由椭圆的定义，$2a= {\left|{PF_1}\right|}+{\left|{PF_2}\right|}=\left(2+\sqrt 2\right)+\left(2-\sqrt 2\right)=4$，故 $a=2$．
设椭圆的半焦距为 $c$，由已知 $PF_1\perp PF_2$，
因此 $2c={\left|{F_1F_2}\right|}=\sqrt{{\left|{PF_1}\right|}^2+{\left|{PF_2}\right|}^2}=\sqrt{\left(2+\sqrt 2\right)^2+\left(2-\sqrt 2\right)^2}=2\sqrt 3$．
即 $c=\sqrt 3$，从而 $b=\sqrt{a^2-c^2}=1$，
故所求椭圆的标准方程为 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$． -
若 ${\left|{PF_1}\right|}={\left|{PQ}\right|}$，求椭圆的离心率 $e$．标注答案$\sqrt 6-\sqrt 3$．解析由于 $\triangle PF_1F_2$ 及 $\triangle QF_1F_2$ 是焦点三角形，这使我们想到利用椭圆定义．而 $\triangle PF_1F_2$ 是直角三角形，可用勾股定理建立一个等量关系式．通过这些建立起 $a,c$ 间的关系，即可求得离心率．连接 $F_1Q$．
如图，由椭圆的定义，${\left|{PF_1}\right|}+{\left|{PF_2}\right|}=2a$，${\left|{QF_1}\right|}+{\left|{QF_2}\right|}=2a$，所以\[\left|PF_1\right|+\left|PQ\right|+\left|QF_1\right|=4a.\]因为 $PQ\perp PF_1$，$\left|PF_1\right|=\left|PQ\right|$，所以\[\left|F_1Q\right|=\sqrt {\left|PF_1\right|^2+\left|PQ\right|^2}=\sqrt 2\left|PF_1\right|.\]所以\[2 \left|PF_1\right|+\sqrt 2\left|PF_1\right|=4a,\]\[{\left|{PF_1}\right|}=2\left(2-\sqrt 2\right)a,\]从而 ${\left|{PF_2}\right|}=2a-{\left|{PF_1}\right|}=2\left(\sqrt 2-1\right)a$．
由 $PF_1\perp PF_2$，知\[{\left(2c\right)^2={\left|{F_1F_2}\right|}^2=\left|{PF_1}\right|}^2+{\left|{PF_2}\right|}^2 ,\]将 $\left|PF_1\right|,\left|PF_2\right|$ 的值代入可得 $c=\left(\sqrt 6-\sqrt 3\right)a$．
因此根据离心率的概念可知 $e=\dfrac ca=\sqrt 6-\sqrt 3$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
