题目 已知 $\left\{a_n\right\}$ 是首项为 $ 1 $，公差为 $ 2 $ 的等差数列，$S_n $ 表示 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $ n$ 项和． 问题1 求 $a_n$ 及 $S_n $； 答案1 ${a_n}=2n - 1$，${S_n} = \dfrac{{n\left( {{a_1} + {a_n}} \right)}}{2} = \dfrac{{n\left( {1 + 2n - 1} \right)}}{2} = {n^2}$． 解析1 直接套用等差数列通项公式和前 $n$ 项和公式即可．因为 $\left\{ {a_n} \right\}$ 是首项 ${a_1} = 1$，公差 $d = 2$ 的等差数列，所以\[ {a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right)d = 2n - 1, \]故\[ {S_n} = \dfrac{{n\left( {{a_1} + {a_n}} \right)}}{2} = \dfrac{{n\left( {1 + 2n - 1} \right)}}{2} = {n^2}.\] 备注1 问题2 设 $\left\{ b_n\right\}$ 是首项为 $ 2 $ 的等比数列，公比 $q $ 满足 $q^2-\left(a_4+1\right)q+S_4=0 $，求 $\left\{ b_n\right\}$ 的通项公式及其前 $n $ 项和 $T_n $． 答案2 ${b_n}= {2^{2n - 1}}$，${T_n} = \dfrac{2}{3}\left( {{4^n} - 1} \right)$． 解析2 解出公比 $q$，然后套用等比数列通项公式和前 $n$ 项和公式即可．由（1）得 ${a_4} = 7$，${S_4} = 16$，因为\[{q^2} - \left( {{a_4} + 1} \right)q + {S_4} = 0,\]即\[{q^2} - 8q + 16 = 0,\]所以 ${\left( {q - 4} \right)^2} = 0$，从而 $q = 4$．又因 ${b_1} = 2$，$\left\{ {b_n} \right\}$ 是公比 $q = 4$ 的等比数列，所以\[{b_n} = {b_1}{q^{n - 1}} = 2 \cdot {4^{n - 1}} = {2^{2n - 1}},\]从而 $\left\{ {b_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和为\[T_n=\dfrac{{{b_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{1 - q} = \dfrac{2}{3}\left( {{4^n} - 1} \right).\] 备注2