在 $ \triangle ABC$ 中，内角 $ A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $ a$，$b$，$c$，且 $ a+b+c=8$．
【难度】
【出处】
2014年高考重庆卷（文）
【标注】
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若 $ a=2$，$b=\dfrac52$，求 $\cos C $ 的值；标注答案$ - \dfrac{1}{5}$．解析直接应用余弦定理即可．由题意可知\[c = 8 - \left( {a + b} \right) = \dfrac{7}{2},\]由余弦定理得\[\begin{split}\cos C = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{2ab} = - \dfrac{1}{5}.\end{split}\]
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若 $\sin A\cos ^2\dfrac B2+\sin B\cos ^2\dfrac A2=2\sin C $，且 $\triangle ABC $ 的面积 $S=\dfrac 92\sin C $，求 $ a$ 和 $ b$ 的值．标注答案$a = 3$，$b = 3$．解析本题的思路是将 $\sin A\cos ^2\dfrac B2+\sin B\cos ^2\dfrac A2=2\sin C $ 整理化简，然后用正弦定理得到 $a,b,c$ 三边之间的关系，继而结合已知求得 $a,b$．由\[\sin A{\cos ^2}\dfrac{B}{2} + \sin B{\cos ^2}\dfrac{A}{2} = 2\sin C,\]并根据二倍角公式可得\[\sin A \cdot \dfrac{1 + \cos B}{2} + \sin B \cdot \dfrac{1 + \cos A}{2} = 2\sin C,\]化简得\[\sin A + \sin A\cos B + \sin B + \sin B\cos A = 4\sin C,\]又根据和差角公式和诱导公式得\[\sin A\cos B + \sin B\cos A = \sin \left(A + B\right) =\sin \left({\mathrm \pi} -C\right)= \sin C,\]所以\[\sin A + \sin B = 3\sin C,\]由正弦定理可知 $a + b = 3c$，又因 $a + b + c = 8$，故 $a + b = 6$，
根据三角形面积公式并结合已知得\[S = \dfrac{1}{2}ab\sin C = \dfrac{9}{2}\sin C,\]所以 $ab = 9$，从而 ${a^2} - 6a + 9 = 0$，解得 $a = 3$，$b = 3$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
