四面体 $ABCD$ 及其三视图如图所示，平行于棱 $AD$，$BC$ 的平面分别交四面体的棱 $AB$，$BD$，$DC$，$CA$ 于点 $E$，$F$，$G$，$H$．
【难度】
【出处】
2014年高考陕西卷（文）
【标注】
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求四面体 $ABCD$ 的体积；标注答案$ \dfrac{2}{3}$．解析可通过三视图得到 $BD$、$DC$ 和 $AD$ 的长，且 $AD$ 是三棱锥底面上的高．然后求体积即可．由该四面体的三视图可知 $BD \perp DC$，$BD \perp AD$，$AD \perp DC$，$BD = DC = 2$，$AD = 1$，于是 $ AD \perp $ 平面 $BDC$，所以四面体 $ABCD$ 的体积为\[\begin{split}V= \dfrac{1}{3}AD \cdot {S_{\triangle BCD}} = \dfrac{1}{3} \times 1 \times \dfrac{1}{2} \times 2 \times 2 = \dfrac{2}{3}.\end{split}\]
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证明：四边形 $EFGH$ 是矩形．标注答案略．解析可通过 $BC$ 和 $AD$ 作为桥梁，沟通欲证四边形的四个边．因为 $BC\parallel 平面 EFGH$，
平面 $EFGH \cap 平面 BDC = FG$，
平面 $EFGH \cap 平面 ABC = EH$，
所以 $BC\parallel FG$，$BC\parallel EH$，故 $FG\parallel EH$．
同理 $EF\parallel AD$，$HG\parallel AD$，所以 $EF\parallel HG$．
所以四边形 $EFGH$ 是平行四边形．
又因为 $AD \perp 平面 BDC$，可得 $ AD \perp BC$，
因为 $BC\parallel FG$，$EF\parallel AD$，可知 $ EF \perp FG$，所以四边形 $EFGH$ 是矩形．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
