在直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $A\left(1,1\right)$，$B\left(2,3\right)$，$C\left(3,2\right)$，点 $P\left(x,y\right)$ 在 $\triangle ABC$ 三边围成的区域（含边界）上，且 $\overrightarrow {OP} = m\overrightarrow {AB} + n\overrightarrow {AC} \left(m,n \in{\mathbb{ R}}\right)$．
【难度】
【出处】
2014年高考陕西卷（文）
【标注】
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若 $m = n = \dfrac{2}{3}$，求 ${\left|{\overrightarrow {OP}}\right|}$；标注答案$2\sqrt 2$．解析可先求得 $\overrightarrow {OP}$ 坐标，然后求 $\left|\overrightarrow {OP}\right|$．根据向量的坐标运算可计算得\[\overrightarrow {AB} = \left(1,2\right),\overrightarrow {AC} = \left(2,1\right),\]\[\overrightarrow {OP} = \dfrac{2}{3}\left(1,2\right) + \dfrac{2}{3}\left(2,1\right) = \left(2,2\right),\]\[ \left| \overrightarrow {OP} \right| = \sqrt {{{ 2 }^{ 2 }} + {{ 2 }^{ 2 }}} = 2\sqrt 2 .\]
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用 $x$，$y$ 表示 $m - n$，并求 $m - n$ 的最大值．标注答案$ 1 $．解析利用条件 $\overrightarrow {OP} = m\overrightarrow {AB} + n\overrightarrow {AC} \left(m,n \in{\mathbb{ R}}\right)$ 得出 $x,y$ 和 $m,n$ 之间的关系，继而表示出 $m-n$，则问题转化成关于变量 $x,y$ 的线性规划问题．根据平面向量的坐标运算有 $ \overrightarrow {OP} = m\left(1,2\right) + n\left(2,1\right) = \left(m + 2n,2m + n\right)$，即\[ \begin{cases}
{x = m + 2n} ,\\
{y = 2m + n}.
\end{cases} \]两式相减得\[m - n = y - x.\]令 $y - x = t$，运用线性规划知识，由图可知，当直线 $y = x + t$ 过点 $B\left(2,3\right)$ 时，$t$ 取得最大值 $ 1 $，故 $m - n$ 的最大值为 $ 1 $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
