已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\left(a > b > 0\right)$ 经过点 $\left(0,\sqrt 3 \right)$，离心率为 $\dfrac{1}{2}$，左、右焦点分别为 ${F_1}\left( - c,0\right)$、$ {F_2}\left(c,0\right)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求椭圆的方程；标注答案$\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1$．解析本题考查椭圆的基本量与方程．根据椭圆的概念与方程及几何性质，并结合题意可得\[ {\begin{cases}
{b = \sqrt 3 } ,\\
{\dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{2}} ,\\
{{b^2} = {a^2}-{c^2}}.
\end{cases}} \]解得\[a = 2,b = \sqrt 3 ,c = 1,\]所以椭圆的方程为 $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1$． -
若直线 $l:y = - \dfrac{1}{2}x + m$ 与椭圆交于 $A$，$B$ 两点，与以 ${F_1}{F_2}$ 为直径的圆交于 $C$，$D$ 两点，且满足 $\dfrac{|AB|}{|CD|} = \dfrac{5\sqrt 3 }{4}$，求直线 $l$ 的方程．标注答案$y = - \dfrac{1}{2}x + \dfrac{\sqrt 3 }{3}$ 或 $ y = - \dfrac{1}{2}x - \dfrac{\sqrt 3 }{3} $．解析分别用 $m$ 表示椭圆的弦长 $AB$ 和圆的弦长 $CD$，然后利用 $\dfrac{|AB|}{|CD|} = \dfrac{5\sqrt 3 }{4}$ 求得 $m$．由题意可得以 ${F_1}{F_2}$ 为直径的圆的方程为 ${x^2} + {y^2} = 1 $，所以圆心到直线 $l$ 的距离为 $d = \dfrac{2|m|}{\sqrt 5 }$．由 $d < 1$，得 $\dfrac{2|m|}{\sqrt 5 } < 1$，解得 $|m| < \dfrac{\sqrt 5 }{2}$，所以根据圆的弦长求法可得\[\begin{split} |CD| = 2\sqrt {1 - \dfrac{{4{m^2}}}{5}}= \dfrac{2}{\sqrt 5 }\sqrt {5 - 4{m^2}} ,\end{split}\]设 $A\left({x_1},{y_1}\right)$，$B\left({x_2},{y_2}\right)$，直线和椭圆联立得到方程组\[{\begin{cases}{y = - \dfrac{1}{2}x + m}, \\
{\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{3} = 1}.
\end{cases}} \]整理得\[{x^2} - mx + {m^2} - 3 = 0,\]则\[{x_1} + {x_2} = m,{x_1}{x_2} = {m^2} - 3,\]根据弦长公式得\[ |AB| = \sqrt {\left[ {1 + {{\left( - \dfrac{1}{2}\right)}^2}} \right]\left[ {{m^2} - 4\left({m^2} - 3\right)} \right]} = \dfrac{{\sqrt {15} }}{2}\sqrt {4 - {m^2}} , \]因为 $\dfrac{|AB|}{|CD|} = \dfrac{5\sqrt 3 }{4}$，所以 $ \dfrac{{\sqrt {4 - {m^2}} }}{{\sqrt {5 - 4{m^2}} }} = 1$，解得\[m = \pm \dfrac{\sqrt 3 }{3} ,\]且满足 $ |m| < \dfrac{\sqrt 5 }{2} $．
因此直线 $l$ 的方程为 $y = - \dfrac{1}{2}x + \dfrac{\sqrt 3 }{3}$ 或 $ y = - \dfrac{1}{2}x - \dfrac{\sqrt 3 }{3} $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
