$-\dfrac14$．

将 $\dfrac {2{\mathrm \pi} }3$ 代入计算即可．将 $x=\dfrac{2{\mathrm \pi} }{3}$ 代入，得\[f\left( {\dfrac{{2{\mathrm \pi} }}{3}} \right) = \cos \dfrac{{2{\mathrm \pi} }}{3} \cdot \cos \dfrac{\mathrm \pi} {3}\overset{\left[a\right]} = - \dfrac{1}{4}.\]（推导中用到[a]）

$\left\{ {x\left| {k{\mathrm \pi} + \dfrac{{5{\mathrm \pi} }}{12} < x < k{\mathrm \pi} + \dfrac{{11{\mathrm \pi} }}{12},k \in {\mathbb{Z}}} \right.} \right\}$．

需先将 $f(x)$ 整理成余弦型函数的形式，然后解不等式即可．对 $f\left(x\right)$ 整理，得\[\begin{split}f\left(x\right) &= \cos x\cdot\cos \left( {x - \dfrac{\mathrm \pi} {3}} \right) \\ &\overset{\left[a\right]}= \cos x \cdot \left( {\dfrac{1}{2}\cos x + \dfrac{\sqrt 3 }{2}\sin x} \right)\\&= \dfrac{1}{2}{\cos ^2}x + \dfrac{\sqrt 3 }{2}\sin x\cos x \\&\overset{\left[b\right]}= \dfrac{1}{4}\left(1 + \cos 2x\right) + \dfrac{\sqrt 3 }{4}\sin 2x\\& \overset{\left[c\right]}= \dfrac{1}{2}\cos \left( {2x - \dfrac{\mathrm \pi} {3}} \right) + \dfrac{1}{4}.\end{split}\]（推导中用到[a]，[b]，[c]）
因此，$f\left(x\right) < \dfrac{1}{4}$ 可转化为\[\cos \left( {2x - \dfrac{\mathrm \pi} {3}} \right) < 0,\]根据余弦函数的性质，知\[2k{\mathrm \pi} + \dfrac{\mathrm \pi} {2} < 2x - \dfrac{\mathrm \pi} {3} < 2k{\mathrm \pi} + \dfrac{{3{\mathrm \pi} }}{2},k \in {\mathbb{Z}} ,\]解得\[ k{\mathrm \pi} + \dfrac{{5{\mathrm \pi} }}{12} < x < k{\mathrm \pi} + \dfrac{{11{\mathrm \pi} }}{12},k \in {\mathbb{Z}},\]故使 $f\left(x\right) < \dfrac{1}{4}$ 成立的 $x$ 的取值集合为\[\left\{ {x\left| {k{\mathrm \pi} + \dfrac{{5{\mathrm \pi} }}{12} < x < k{\mathrm \pi} + \dfrac{{11{\mathrm \pi} }}{12},k \in {\mathbb{Z}}} \right.} \right\}.\]