${\left(x - 2\right)^2} + {\left(y - 2\right)^2} = 4$．

先求出点 $F_1,F_2$ 关于直线 $x-y-2=0$ 的对称点，然后求出圆的方程．由题设知，${F_1},{F_2}$ 的坐标分别为 $\left( - 2,0\right),\left(2,0\right)$，
圆 $C$ 的半径为 $ 2 $，圆心为原点 $O$ 关于直线 $x + y - 2 = 0$ 的对称点．
设圆心的坐标为 $\left({x_0},{y_0}\right)$，有\[\begin{cases}
\dfrac{y_0}{x_0} = 1, \\
\dfrac{x_0}{2} + \dfrac{y_0}{2} - 2 = 0, \\
\end{cases}\]解得\[\begin{cases}{x_0} = 2, \\
{y_0} = 2. \\
\end{cases}\]所以圆 $C$ 的方程为\[{\left(x - 2\right)^2} + {\left(y - 2\right)^2} = 4.\]

$x - \sqrt 3 y - 2 = 0$ 或 $ x + \sqrt 3 y - 2 = 0$．

设出直线 $l$ 的方程，利用相关公式求出它被圆截得的弦长 $b$ 和被椭圆截得的弦长 $a$，然后利用均值定理求最值．由题意，可设直线 $l$ 的方程为 $x = my + 2$，则圆心到直线 $l$ 的距离\[d = \dfrac{|2m|}{{\sqrt {1 + {m^2}} }}.\]所以\[b = 2\sqrt {{2^2} - {d^2}} = \dfrac{4}{{\sqrt {1 + {m^2}} }}.\]联立直线与椭圆的方程\[\begin{cases}
x = my + 2, \\
\dfrac{x^2}{5} + {y^2} = 1, \\
\end{cases}\]得\[\left({m^2} + 5\right){y^2} + 4my - 1 = 0.\]设 $l$ 与 $E$ 的两个交点坐标分别为 $\left({x_1},{y_1}\right),\left({x_2},{y_2}\right)$，则\[\begin{split}{y_1} + {y_2} &= - \dfrac{4m}{{{m^2} + 5}}, \\ {y_1}{y_2} &= - \dfrac{1}{{{m^2} + 5}}.\end{split}\]于是\[\begin{split}a &\overset{\left[a\right]}= \sqrt {\left(1 + {m^2}\right){{\left({y_1} - {y_2}\right)}^2}} \\ &= \sqrt {\left(1 + {m^2}\right)\left[ {{{\left({y_1} + {y_2}\right)}^2} - 4{y_1}{y_2}} \right]} \\ &=\sqrt {\left(1 + {m^2}\right)\left[ {\dfrac{{16{m^2}}}{{{{\left({m^2} + 5\right)}^2}}} + \dfrac{4}{{{m^2} + 5}}} \right]} \\&= \dfrac{{2\sqrt 5 \left({m^2} + 1\right)}}{{{m^2} + 5}}.\end{split}\]（推导中用到[a]．）
从而\[\begin{split} ab &= \dfrac{{8\sqrt 5 \cdot \sqrt {{m^2} + 1} }}{{{m^2} + 5}} \\&= \dfrac{{8\sqrt 5 \cdot \sqrt {{m^2} + 1} }}{{\left({m^2} + 1\right) + 4}}\\&= \dfrac{8\sqrt 5 }{{\sqrt {{m^2} + 1} + \dfrac{4}{{\sqrt {{m^2} + 1} }}}} \\& \leqslant \dfrac{8\sqrt 5 }{{2\sqrt {\sqrt {{m^2} + 1} \cdot \dfrac{4}{{\sqrt {{m^2} + 1} }}} }} \\&= 2\sqrt 5. \end{split}\]当且仅当$\sqrt {{m^2} + 1} = \dfrac{4}{{\sqrt {{m^2} + 1} }}$，即 $m = \pm \sqrt 3 $ 时等号成立．
故当 $m = \pm \sqrt 3 $ 时，$ab$ 最大，此时，直线 $l$ 的方程为\[x = \sqrt 3 y + 2 或 x = - \sqrt 3 y + 2,\]即\[x - \sqrt 3 y - 2 = 0 或 x + \sqrt 3 y - 2 = 0.\]