$f\left(x\right)$ 的单调递增区间为 $\left( - \infty ,0\right)$，单调递减区间为 $\left(0, + \infty \right)$．

本题考查利用导数求函数的单调区间．函数 $f\left(x\right)$ 的定义域为 $\left( - \infty , + \infty \right)$．对 $f\left(x\right)$ 求导得\[\begin{split}f'\left(x\right) &= {\left( {\dfrac{1 - x}{{1 + {x^2}}}} \right)' }{{\mathrm{e}}^x} + \dfrac{1 - x}{{1 + {x^2}}}{{\mathrm{e}}^x}\\
&= \left[ {\dfrac{{{x^2} - 2x - 1}}{{{{\left(1 + {x^2}\right)}^2}}} + \dfrac{1 - x}{{1 + {x^2}}}} \right]{{\mathrm{e}}^x} \\&= \dfrac{{ - x\left[{{\left(x - 1\right)}^2} + 2\right]}}{{{{\left(1 + {x^2}\right)}^2}}}{{\mathrm{e}}^x}.\end{split}\]于是，当 $x < 0$ 时 $f'\left(x\right) > 0$；当 $x > 0$ 时，$f'\left(x\right) < 0$．
所以，$f\left(x\right)$ 的单调递增区间为 $\left( - \infty ,0\right)$，单调递减区间为 $\left(0, + \infty \right)$．

略．

可通过证明 $f(x_2)<f(-x_2)$ 得到 $f(x_1)<f(-x_2)$，从而 $x_1<-x_2$，继而完成证明．而 $f(x_2)<f(-x_2)$ 的证明可通过移项构造函数完成．当 $x < 1$ 时，由于 $\dfrac{1 - x}{{1 + {x^2}}} > 0,{{\mathrm{e}}^x} > 0$，故 $f\left(x\right) > 0$；
同理，当 $x > 1$ 时，$f\left(x\right) < 0$．
当 $f\left({x_1}\right) = f\left({x_2}\right)\left({x_1} \ne {x_2}\right)$ 时，不妨设 ${x_1} < {x_2}$，由（1）知，\[{x_1} \in \left( - \infty ,0\right),{x_2} \in \left(0,1\right).\]下面证明：
$\forall x \in \left(0,1\right),f\left(x\right) < f\left( - x\right)$，即证\[\dfrac{1 - x}{{1 + {x^2}}}{{\mathrm{e}}^x} < \dfrac{1 + x}{{1 + {x^2}}}{{\mathrm{e}}^{ - x}}.\]此不等式等价于\[\left(1 - x\right){{\mathrm{e}}^x} - \dfrac{1 + x}{{{{\mathrm{e}}^x}}} < 0.\]令 $g\left(x\right) = \left(1 - x\right){{\mathrm{e}}^x} - \dfrac{1 + x}{{{{\mathrm{e}}^x}}}$，则\[g'\left(x\right) = - x{{\mathrm{e}}^{ - x}}\left({{\mathrm{e}}^{2x}} - 1\right).\]当 $x \in \left(0,1\right)$ 时，$g'\left(x\right) < 0$，$g\left(x\right)$ 单调递减，从而\[g\left(x\right) < g\left(0\right) = 0,\]即\[\left(1 - x\right){{\mathrm{e}}^x} - \dfrac{1 + x}{{{{\mathrm{e}}^x}}} < 0.\]所以 $\forall x \in \left(0,1\right)$，\[f\left(x\right) < f\left( - x\right),\]而 ${x_2} \in \left(0,1\right)$，所以\[f\left({x_2}\right) < f\left( - {x_2}\right),\]从而\[f\left({x_1}\right) < f\left( - {x_2}\right).\]由于 ${x_1},- {x_2} \in \left( - \infty ,0\right)$，$f\left(x\right)$ 在 $\left( - \infty ,0\right)$ 上单调递增，
所以 ${x_1} < - {x_2}$，即\[{x_1} + {x_2} < 0.\]