查看数据源：599165c52bfec200011e0d3e
已知 $a \in {\mathbb{R}}$，函数 $f \left(x \right) = 2{x^3} - 3 \left(a + 1 \right){x^2} + 6ax$．
【难度】
【出处】
2013年高考浙江卷（文）
【标注】
  1. 若 $a = 1$，求曲线 $y = f\left(x\right)$ 在点 $ \left(2,f \left(2 \right) \right)$ 处的切线方程；
    标注
    答案
    $ 6x - y - 8 = 0 $．
    解析
    利用导数求出斜率，然后可得切线方程．当 $a = 1$ 时，$f' \left(x \right) = 6{x^2} - 12x + 6$，所以\[f' \left(2 \right) = 6.\]又因为 $f \left(2 \right) = 4$，所以切线方程为 $y - 4 = 6 \left(x - 2 \right)$，即 $ 6x - y - 8 = 0 $．
  2. 若 $ \left|a \right| > 1$，求 $f \left(x \right)$ 在闭区间 $ \left[0,2 \left|a \right| \right]$ 上的最小值．
    标注
    答案
    $g \left(a \right) = {\begin{cases}
    3a - 1,&a < - 1, \\
    0,&1 < a \leqslant 3, \\
    {a^2} \left(3 - a \right),&a > 3. \\
    \end{cases}}$
    解析
    本题要注意按 $a$ 的正负讨论，同时注意极值点与区间端点的关系．记 $g \left(a \right)$ 为 $f \left(x \right)$ 在闭区间 $\left[ {0,2 \left|a \right|} \right]$ 上的最小值．\[ f' \left(x \right) = 6{x^2} - 6 \left(a + 1 \right)x + 6a ,\]令 $f' \left(x \right) = 0$，得\[{x_1} = 1,{x_2} = a.\]当 $a > 1$ 时，$x,f'\left(x\right),f\left(x\right)$ 的变化如下表：\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline x&0& \left(0,1 \right)&1& \left(1,a \right)&a& \left(a,2a \right)&2a\\ \hline f'\left(x\right)& &+&0&-&0&+& \\ \hline f\left(x\right)&0&单调递增&极大值&单调递减&极小值&单调递增&4a^3\\ \hline\end{array}\]比较 $f\left(0\right) = 0$ 和 $f\left(a\right) = {a^2} \left(3 - a \right)$ 的大小可得\[g\left(a\right) = {\begin{cases}0,&1 < a \leqslant 3, \\
    {a^2} \left(3 - a \right),&a > 3. \\
    \end{cases}}\]当 $a < - 1$ 时，$x,f'\left(x\right),f\left(x\right)$ 的变化如下表：\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x&0& \left(0,1 \right)&1& \left(1,-2a \right)&-2a\\ \hline f'\left(x\right)& &-&0&+& \\ \hline f\left(x\right)&0&单调递减&极小值&单调递增&-28a^3-24a^2\\ \hline\end{array}\]得\[g\left(a\right) = 3a - 1.\]综上所述，$f \left(x \right)$ 在闭区间 $ \left[0,2 \left|a \right| \right]$ 上的最小值为\[g \left(a \right) = {\begin{cases}3a - 1,&a < - 1, \\
    0,&1 < a \leqslant 3, \\
    {a^2} \left(3 - a \right),&a > 3. \\
    \end{cases}}\]
题目 问题1 答案1 解析1 备注1 问题2 答案2 解析2 备注2
0.109954s