题目 在 $\triangle ABC$ 中，角 $A$，$B$，$C$ 对应的边分别是 $a$，$b$，$c$，已知 $\cos 2A - 3\cos \left( {B + C} \right) = 1$． 问题1 求角 $A$ 的大小； 答案1 $A = \dfrac{\mathrm \pi} {3}$ 解析1 用诱导公式与二倍角公式化简即可．由 $\cos 2A - 3\cos \left( {B + C} \right) = 1$，得\[2{\cos ^2}A + 3\cos A - 2 = 0,\]（推导中用到：）<br/>即\[\left( {2\cos A - 1} \right)\left( {\cos A + 2} \right) = 0.\]解得 $\cos A = \dfrac{1}{2} 或 \cos A = - 2 $（舍去）．因为 $0 < A < {{\mathrm \pi} }$，所以\[A = \dfrac{\mathrm \pi} {3}.\] 备注1 问题2 若 $\triangle ABC$ 的面积 $S = 5\sqrt 3 $，$b = 5$，求 $\sin B\sin C$ 的值． 答案2 $\dfrac 57$ 解析2 本题考查对正弦定理、余弦定理、面积公式等公式的综合应用．由\[\begin{split}S &\overset{\left[a\right]}= \dfrac{1}{2}bc\sin A \\&= \dfrac{1}{2}bc \cdot \dfrac{\sqrt 3 }{2} \\&= \dfrac{\sqrt 3 }{4}bc\\& = 5\sqrt 3, \end{split}\]（推导中用到[a]：）得 $bc = 20$．又 $b = 5$，所以 $c = 4$．由余弦定理，得\[\begin{split}{a^2} &= {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A \\&= 25 + 16 - 20 \\&= 21,\end{split}\]故 $a = \sqrt {21} $．又由正弦定理，得\[\begin{split}\sin B\sin C &= \dfrac{b}{a}\sin A \cdot \dfrac{c}{a}\sin A \\&= \dfrac{bc}{a^2} \cdot {\sin ^2}A \\&= \dfrac{20}{21} \times \frac{3}{4} \\&= \dfrac{5}{7}.\end{split}\] 备注2