已知 ${S_n}$ 是等比数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的前 $n$ 项和，${S_4}$，${S_2}$，${S_3}$ 成等差数列，且 ${a_2} + {a_3} + {a_4} = - 18$．
【难度】
【出处】
2013年高考湖北卷（文）
【标注】
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求数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式．标注答案${a_n} = 3 \times {\left( - 2\right)^{n - 1}}$解析本题代入公式求解即可．由 ${S_4}$，${S_2}$，${S_3}$ 成等差数列可得\[{S_2} - {S_4} = {S_3} - {S_2}.\]又 ${a_2} + {a_3} + {a_4} = - 18$，且 $\left\{a_n\right\}$ 为等比数列，所以可得\[\begin{cases}
- {a_1}{q^2} - {a_1}{q^3} = {a_1}{q^2}, \\
{a_1}q\left(1 + q + {q^2}\right) = - 18, \\
\end{cases}\]解得\[\begin{cases}{a_1} = 3, \\
q = - 2. \\
\end{cases}\]故数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的通项公式为\[{a_n} = 3 \times {\left( - 2\right)^{n - 1}}.\] -
是否存在正整数 $n$，使得 ${S_n} \geqslant 2013$？若存在，求出符合条件的所有 $n$ 的集合；若不存在，说明理由．标注答案存在符合条件的正整数 $n$，且所有这样的 $n$ 的集合为\[\left\{ {n\left|\right.n = 2k + 1,k \in {\mathbb{N}},k \geqslant 5} \right\}.\]解析先假设存在，列出关系式求解．由（1）有\[{S_n} = \dfrac{{3\left[1 - {{\left( - 2\right)}^n}\right]}}{1 - \left( - 2\right)} = 1 - {\left( - 2\right)^n}.\]假设存在 $n$，使得 ${S_n} \geqslant 2013$，则 $1 - {\left( - 2\right)^n} \geqslant 2013$，即\[{\left( - 2\right)^n} \leqslant - 2012.\]当 $n$ 为偶数时，${\left( - 2\right)^n} > 0$，上式不成立；
当 $n$ 为奇数时，${\left( - 2\right)^n} = - {2^n} \leqslant - 2012$，即 ${2^n} \geqslant 2012$．
即 $n \geqslant 11$．
综上，存在符合条件的正整数 $n$，且所有这样的 $n$ 的集合为\[\left\{ {n\left|\right.n = 2k + 1,k \in {\mathbb{N}},k \geqslant 5} \right\}.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
