如图，某地质队自水平地面 $A$，$B$，$C$ 三处垂直向地下钻探，自 $A$ 点向下钻到 ${A_1}$ 处发现矿藏，再继续下钻到 ${A_2}$ 处后下面已无矿，从而得到在 $A$ 处正下方的矿层厚度为 ${A_1}{A_2} = {d_1}$，同样可得在 $B$，$C$ 处正下方的矿层厚度分别为 ${B_1}{B_2} = {d_2}$，${C_1}{C_2} = {d_3}$，且 ${d_1} < {d_2} < {d_3}$，过 $AB$，$AC$ 的中点 $M$，$N$ 且与直线 $A{A_2}$ 平行的平面截多面体 ${A_1}{B_1}{C_1} - {A_2}{B_2}{C_2}$ 所得的截面 $DEFG$ 为该多面体的一个中截面，其面积记为 ${S_中}$．
【难度】
【出处】
2013年高考湖北卷（文）
【标注】
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证明：中截面 $DEFG$ 是梯形．标注答案略解析需要证明 $DE$ 和 $FG$ 平行且不相等，要用到线面平行的性质定理，以及棱柱的性质．依题意 ${A_1}{A_2} \perp 平面 ABC$，${B_1}{B_2} \perp 平面 ABC$，${C_1}{C_2} \perp 平面 ABC$，所以 ${A_1}{A_2}\parallel {B_1}{B_2}\parallel {C_1}{C_2}$．
又 ${A_1}{A_2} = {d_1}$，${B_1}{B_2} = {d_2}$，${C_1}{C_2} = {d_3}$，且 ${d_1} < {d_2} < {d_3}$，所以四边形 ${A_1}{A_2}{B_2}{B_1}$，${A_1}{A_2}{C_2}{C_1}$ 均是梯形．
由 $A{A_2}\parallel 平面 MEFN$，$A{A_2} \subset 平面 A{A_2}{B_2}B$，且平面 $A{A_2}{B_2}B \cap 平面 MEFN = ME$，可得 $A{A_2}\parallel ME$，即 ${A_1}{A_2}\parallel DE$．
同理可证 ${A_1}{A_2}\parallel FG$，所以 $DE\parallel FG$．
又点 $M$，$N$ 分别为 $AB$，$AC$ 的中点，则点 $D$，$E$，$F$，$G$ 分别为 ${A_1}{B_1}$，${A_2}{B_2}$，${A_2}{C_2}$，${A_1}{C_1}$ 的中点，
即 $DE$，$FG$ 分别为梯形 ${A_1}{A_2}{B_2}{B_1}$，${A_1}{A_2}{C_2}{C_1}$ 的中位线，因此\[\begin{split}DE &= \dfrac{1}{2}\left({A_1}{A_2} + {B_1}{B_2}\right) \\&= \dfrac{1}{2}\left({d_1} + {d_2}\right), \\ FG &= \dfrac{1}{2}\left({A_1}{A_2} + {C_1}{C_2}\right) \\&= \dfrac{1}{2}\left({d_1} + {d_3}\right),\end{split}\]而 ${d_1} < {d_2} < {d_3}$，故 $DE < FG$，所以中截面 $DEFG$ 是梯形． -
在 $\triangle ABC$ 中，记 $BC = a$，$BC$ 边上的高为 $h$，面积为 $S$．在估测三角形 $ABC$ 区域内正下方的矿藏储量（即多面体 ${A_1}{B_1}{C_1} - {A_2}{B_2}{C_2}$ 的体积 $V$）时，可用近似公式 ${V_估} = {S_中} \cdot h$ 来估算．已知 $V = \dfrac{1}{3}\left({d_1} + {d_2} + {d_3}\right)S$，试判断 ${V_估}$ 与 $V$ 的大小关系，并加以证明．标注答案${V_估} < V$，证明略解析先把 $V_估$ 和 $V$ 都表达出来，然后作差比较大小．${V_估} < V$．证明如下：
由 ${A_1}{A_2} \perp 平面 ABC$，$MN \subset 平面 ABC$，可得 ${A_1}{A_2} \perp MN$．
而 $EM\parallel {A_1}{A_2}$，所以 $EM \perp MN$，同理可得 $FN \perp MN$．
由 $MN$ 是 $\triangle ABC$ 的中位线，可得\[MN = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}a,\]即为梯形 $DEFG$ 的高．因此\[\begin{split}{S_中} &= {S_{梯形DEFG}} \\&= \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{{d_1} + {d_2}}}{2} + \dfrac{{{d_1} + {d_3}}}{2}} \right) \cdot \dfrac{a}{2} \\&= \dfrac{a}{8}\left(2{d_1} + {d_2} + {d_3}\right),\end{split}\]所以\[\begin{split}{V_估} &= {S_中} \cdot h \\&= \dfrac{ah}{8}\left(2{d_1} + {d_2} + {d_3}\right).\end{split}\]又 $S = \dfrac{1}{2}ah$，所以\[\begin{split} V &= \dfrac{1}{3}\left({d_1} + {d_2} + {d_3}\right)S \\ & = \dfrac{ah}{6}\left({d_1} + {d_2} + {d_3}\right) .\end{split} \]于是\[\begin{split} V-{V_估} &= \dfrac{ah}{6}\left({d_1}+{d_2}+{d_3}\right)- \dfrac{ah}{8}\left(2{d_1} + {d_2} + {d_3}\right) \\ & = \dfrac{ah}{24}\left[ {\left({d_2} - {d_1}\right) + \left({d_3} - {d_1}\right)} \right].\end{split} \]由 ${d_1} < {d_2} < {d_3}$，得\[{d_2} - {d_1} > 0,{d_3} - {d_1} > 0,\]故 ${V_估} < V$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
