题目 已知等差数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的公差 $d = 1$，前 $n$ 项和为 ${S_n}$． 问题1 若 $ 1 ,{a_1},{a_3}$ 成等比数列，求 ${a_1}$； 答案1 ${a_1} = - 1$ 或 $ {a_1} = 2$ 解析1 本题考查等差等比数列的基本量问题的求法，将题中条件全部用 $a_1$ 和 $q$ 表示求解即可．因为数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的公差 $d = 1$，且 $ 1 ,{a_1},{a_3}$ 成等比数列，所以\[a_1^2 = 1 \times \left({a_1} + 2\right),\]即\[a_1^2 - {a_1} - 2 = 0,\]解得\[{a_1} = - 1 或 {a_1} = 2.\] 备注1 问题2 若 ${S_5} > {a_1}{a_9}$，求 ${a_1}$ 的取值范围． 答案2 $- 5 < {a_1} < 2$ 解析2 本题考查等差数列的基本量问题，将题中的全部条件均用 $a_1$ 和 $d$ 表示即可．因为数列 $\left\{ {a_n} \right\}$ 的公差 $d = 1$，且 ${S_5} > {a_1}{a_9}$，所以\[5{a_1} + 10 > a_1^2 + 8{a_1},\]即\[a_1^2 + 3{a_1} - 10 < 0,\]解得\[- 5 < {a_1} < 2.\] 备注2