题目 已知 $A$，$B$，$C$ 为 $\triangle ABC$ 的内角，$\tan A$，$\tan B$ 是关于 $x$ 的方程 $x^2+\sqrt3px-p+1=0$（$p\in{\mathbb R}$）的两个实根． 问题1 求 $C$ 的大小； 答案1 $C=60^\circ$． 解析1 先用含 $p$ 的代数式表示 $\tan A$，$\tan B$ 的和与积，再将其代入和角公式 $\tan \left(A+B\right)$ 中得其值，最后由三角形内角和可得结果．由已知，方程 $x^2+\sqrt3px-p+1=0$ 的判别式\[\begin{split}\Delta&=\left(\sqrt3p\right)^2-4\left(-p+1\right)\\& =3p^2+4p-4\geqslant0,\end{split}\]所以 $p\leqslant-2$ 或 $p\geqslant\dfrac23$．<br/>由根与系数的关系，有\[\tan A+\tan B=-\sqrt3p ,\\ \tan A\tan B=1-p.\]于是\[1-\tan A\tan B=1-\left(1-p\right)=p\neq0,\]从而\[\begin{split}\tan\left(A+B\right)&\overset {\left[a\right]}=\dfrac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\tan B}\\ &=-\dfrac{\sqrt3p}{p}=-\sqrt3.\end{split}\]（推导中用到 $\left[a\right]$．）<br/>所以 $A+B=120^\circ $，所以\[C=180^\circ -\left(A+B\right)=60^\circ.\] 备注1 问题2 若 $AB=3$，$AC=\sqrt6$，求 $p$ 的值． 答案2 $p=-1-\sqrt3$． 解析2 先由正弦定理解三角形，再由和差角公式得出 $\tan A$ 的值，最后结合韦达定理即可得出 $p$ 的值．由正弦定理，得\[\begin{split}\sin {B}=\dfrac{AC\sin C}{AB} =\dfrac{\sqrt2}{2},\end{split}\]解得 $B=45^\circ $ 或 $B=135^\circ $（舍去）．于是\[A=180^\circ -B-C=75^\circ .\]则\[\begin{split}\tan A&=\tan\left(45^\circ+30^\circ\right)\\ &\overset {\left[b\right]}=\dfrac{\tan{45^\circ}+\tan{30^\circ}}{1-\tan{45^\circ}\tan{30^\circ}}\\ &=2+\sqrt3.\end{split}\]（推导中用到 $\left[b\right]$．）所以\[p=-\dfrac{1}{\sqrt3}\left(\tan A+\tan B\right)=-1-\sqrt3.\] 备注2