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如图，椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率是 $\dfrac{\sqrt2}{2}$，点 $P\left(0,1\right)$ 在短轴 $CD$ 上，且 $\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PD}=-1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  1. 求椭圆 $E$ 的方程；
    标注
    答案
    椭圆 $E$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{2}=1$．
    解析
    本题考查椭圆的基本量与方程，由已知条件列方程组，解出 $a^2$，$b^2$ 的值即可．因为点 $C$，$D$ 的坐标分别为 $\left(0,-b\right)$，$\left(0,b\right)$．而点 $P$ 的坐标为 $\left(0,1\right)$，且 $\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PD}=-1$，所以 $1-b^2=-1$．又\[\begin{cases}
    \dfrac ca\overset {\left[a\right]}=\dfrac{\sqrt2}{2},\\a^2-b^2\overset {\left[b\right]}=c^2,
    \end{cases}\]（推导中用到 $\left[a\right]$，$\left[b\right]$．）解得\[\begin{cases}a^2=4, \\b^2=2 .\end{cases}\]所以椭圆 $E$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{2}=1$．
  2. 设 $O$ 为坐标原点，过点 $P$ 的动直线与椭圆交于 $A$，$B$ 两点．是否存在常数 $\lambda $，使得 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}+\lambda\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$ 为定值？若存在，求 $\lambda$ 的值；若不存在，请说明理由．
    标注
    答案
    存在常数 $\lambda=1$，使得 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}+\lambda\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$ 为定值 $-3$．
    解析
    若存在定值，则直线 $AB$ 斜率 $k$ 存在时，定值不受变量 $k$ 的影响，按变量 $k$ 整理相关式子，分析相关“因式”就可以得出常数 $\lambda$ 及定值了．注意要验证斜率不存在时的情况．设点 $A$，$B$ 的坐标分别为 $\left(x_1,y_1\right)$，$\left(x_2,y_2\right)$．
    当直线 $AB$ 的斜率存在时，设直线 $AB$ 的方程为 $y=kx+1$．联立$\begin{cases}
    \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{2}=1,\\y=kx+1,
    \end{cases}$ 得\[\left(2k^2+1\right)x^2+4kx-2=0.\]其判别式 $\Delta =\left(4k\right)^2+8\left(2k^2+1\right)>0$，由根与系数的关系，得\[x_1+x_2=-\dfrac{4k}{2k^2+1} , x_1x_2=-\dfrac{2}{2k^2+1}.\]从而\[\begin{split}\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+\lambda\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}&\overset {\left[c\right]}=x_1x_2+y_1y_2+\lambda\left[x_1x_2+\left(y_1-1\right)\left(y_2-1\right)\right]
    \\&=\left(1+\lambda \right)\left(1+k^2\right)x_1x_2+k\left(x_1+x_2\right)+1
    \\&=\dfrac{\left(-2\lambda-4\right)k^2+\left(-2\lambda-1\right)}{2k^2+1}
    \\&=-\dfrac{\lambda-1}{2k^2+1}-\lambda-2.\end{split}\]（推导中用到 $\left[c\right]$．）所以，当 $\lambda=1$ 时，\[-\dfrac{\lambda-1}{2k^2+1}-\lambda-2=-3.\]此时，$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}+\lambda\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=-3$ 为定值．
    当直线 $AB$ 斜率不存在时，直线 $AB$ 即为直线 $CD$．此时，\[\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}+\lambda\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=\overrightarrow{OC}\cdot\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PD}\overset {\left[d\right]}=-3.\]（推导中用到 $\left[d\right]$．）故存在常数 $\lambda=1$，使得 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}+\lambda\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$ 为定值 $-3$．
题目 问题1 答案1 解析1 备注1 问题2 答案2 解析2 备注2
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