已知函数 $f\left(x\right)=\left(\sin x+\cos x\right)^2+\cos {2x}$．
【难度】
【出处】
2015年高考安徽卷（文）
【标注】
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求 $f\left(x\right)$ 最小正周期；标注答案函数 $f\left(x\right)$ 的最小正周期为 ${\mathrm \pi} $．解析先利用三角恒等变换公式把函数化为 $f\left(x\right)=A\sin \left(\omega x+\varphi\right)+B$ 形式，再根据 $f\left(x\right)=A\sin \left(\omega x+\varphi\right)+B$ 的性质求解．因为\[\begin{split}f\left(x\right)&\overset {\left[a\right]}=1+2\sin x\cos x+\cos{2x}\\&\overset {\left[b\right]}=1+\sin{2x}+\cos{2x}\\&\overset {\left[c\right]}=\sqrt2\sin\left(2x+\dfrac{\mathrm \pi} {4}\right)+1,\end{split}\]（推导中用到 $\left[a\right]$，$\left[b\right]$，$\left[c\right]$．）所以函数 $f\left(x\right)$ 的最小正周期为 $T=\dfrac{2{\mathrm \pi} }{2}={\mathrm \pi} $．
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求 $f\left(x\right)$ 在区间 $\left[0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right]$ 上的最大值和最小值．标注答案$f\left(x\right)$ 在 $\left[0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right]$ 上的最大值为 $\sqrt2+1$，最小值为 $0$．解析根据 $f\left(x\right)=A\sin \left(\omega x+\varphi\right)$ 的性质求解．由（1）的计算结果知，\[f\left(x\right)=\sqrt2\sin\left(2x+\dfrac{\mathrm \pi} {4}\right)+1.\]当 $x\in\left[0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right]$ 时，\[2x+\dfrac{\mathrm \pi} {4}\in\left[\dfrac{\mathrm \pi} {4},\dfrac{5{\mathrm \pi} }{4}\right],\]根据正弦型函数的性质知，当 $2x+\dfrac{\mathrm \pi} {4}=\dfrac{\mathrm \pi} {2}$，即 $x=\dfrac{\mathrm \pi} {8}$ 时，$f\left(x\right)$ 取得最大值 $\sqrt2+1$；当 $2x+\dfrac{\mathrm \pi} {4}=\dfrac{5{\mathrm \pi} }{4}$，即 $x=\dfrac{\mathrm \pi} {2}$ 时，$f\left(x\right)$ 取得最小值 $0$．
所以，$f\left(x\right)$ 在 $\left[0,\dfrac{\mathrm \pi} {2}\right]$ 上的最大值为 $\sqrt2+1$，最小值为 $0$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
