已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 是递增的等比数列，且 $a_1+a_4=9$，$a_2a_3=8$．
【难度】
【出处】
2015年高考安徽卷（文）
【标注】
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求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；标注答案$a_n=2^{n-1}$．解析结合等比数列的性质，求得首项和公比（注意取舍）即可写出结果．设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的公比为 $q$．由题设知 $a_1\cdot a_4=a_2\cdot a_3=8$，又 $a_1+a_4=9$，可得\[\begin{cases}
a_1=1,\\a_4=8,
\end{cases}或\begin{cases}a_1=8,\\a_4=1
\end{cases}\left(舍去\right)\]由 $a_4=a_1q^3$，得 $q=2$，故 $a_n=a_1q^{n-1}=2^{n-1}$． -
设 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，$b_n=\dfrac{a_{n+1}}{S_nS_{n+1}}$，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$．标注答案数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n=1-\dfrac{1}{2^{n+1}-1}$．解析先利用等比数列的求和公式求 $S_n$，再利用裂项求和法即可求出 $T_n$．因为 $S_n=\dfrac{a_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=2^n-1$，所以\[\begin{split}b_n&=\dfrac{a_{n+1}}{S_nS_{n+1}}\\ &\overset {\left[a\right]}=\dfrac{S_{n+1}-S_n}{S_nS_{n+1}}\\ &=\dfrac{1}{S_n}-\dfrac{1}{S_{n+1}}.\end{split}\]（推导中用到 $\left[a\right]$．）所以\[\begin{split}T_n&=b_1+b_2+\cdots+b_n\\&\overset {\left[b\right]}=\left(\dfrac{1}{S_1}-\dfrac{1}{S_2}\right)+\left(\dfrac{1}{S_2}-\dfrac{1}{S_3}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{S_n}-\dfrac{1}{S_{n+1}}\right)\\&=\dfrac{1}{S_1}-\dfrac{1}{S_{n+1}}\\ &=1-\dfrac{1}{2^{n+1}-1}.\end{split}\]（推导中用到 $\left[b\right]$．）
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
