设椭圆 $E$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），点 $O$ 为坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $\left(a,0\right)$，点 $B$ 的坐标为 $\left(0,b\right)$，点 $M$ 在线段 $AB$ 上，满足 $ \left|BM \right|=2 \left|MA \right|$，直线 $OM$ 的斜率为 $\dfrac{\sqrt5}{10}$．
【难度】
【出处】
2015年高考安徽卷（文）
【标注】
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求 $E$ 的离心率 $e$；标注答案$e =\dfrac{2\sqrt5}{5}$．解析根据点 $M$ 在线段 $AB$ 上，满足 $ \left|BM \right|=2 \left|MA \right|$，可以利用数乘向量表示出点 $M$ 的坐标，再根据斜率的值得出 $a$ 与 $b$ 的关系表达式，最后利用椭圆的性质解出答案．设 $ M\left(x_M,y_M\right)$．由题设条件知，$ \overrightarrow {BM}=2\overrightarrow {BA} $，所以\[\left(x_M,y_M-b\right)\overset {\left[a\right]}=2\left(a-x_M,-y_M\right),\]（推导中用到 $\left[a\right]$．）得 $x_M=\dfrac23a$，$y_M=\dfrac13b$．故 $M$ 的坐标为 $\left(\dfrac23a,\dfrac13b\right)$，又 $k_{OM}=\dfrac{\sqrt5}{10}$，从而 $\dfrac{b}{2a}=\dfrac{\sqrt5}{10}$．进而得 $a=\sqrt5b$，$c=\sqrt{a^2-b^2}=2b$，故 $e=\dfrac ca=\dfrac{2\sqrt5}{5}$．
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设点 $C$ 的坐标为 $\left(0,-b\right)$，$N$ 为线段 $AC$ 的中点，证明：$MN\perp AB$．标注答案略．解析证明线线垂直，可以通过证明非零向量的数量积为零证明．点 $N$ 的坐标为 $\left(\dfrac a2,-\dfrac b2\right)$，可得 $\overrightarrow{NM}=\left(\dfrac a6,\dfrac{5b}{6}\right)$．又 $\overrightarrow{AB}=\left(-a,b\right)$，从而有\[\begin{split}\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{NM}&\overset {\left[b\right]}=-\dfrac16a^2+\dfrac56b^2\\&=\dfrac16\left(5b^2-a^2\right).\end{split}\]（推导中用到 $\left[b\right]$．）
由（1）的计算结果可知 $a^2=5b^2$，所以 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{NM}=0$，故 $MN\perp AB$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
