已知函数 $f\left(x\right)=\dfrac{ax}{\left(x+r\right)^2}$（$a>0$，$r>0$）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求 $f\left(x\right)$ 的定义域，并讨论 $f\left(x\right)$ 的单调性；标注答案定义域为 $\left(-\infty,-r\right)\cup\left(-r,+\infty\right)$．
$f\left(x\right)$ 的单调递减区间为 $\left(-\infty,-r\right)$，$\left(r,+\infty\right)$；$f\left(x\right)$ 的单调递增区间为 $\left(-r,r\right)$．解析讨论单调性时，对导数的变形是解题的关键，写单调性时注意函数的定义域的限制．由题意知 $x\neq-r$，所求的定义域为 $\left(-\infty,-r\right)\cup\left(-r,+\infty\right)$．可以用导数研究函数的单调性．因为\[f\left(x\right)=\dfrac{ax}{\left(x+r\right)^2}=\dfrac{ax}{x^2+2rx+r^2},\]所以\[\begin{split}f'\left(x\right)&=\dfrac{a\left(x^2+2rx+r^2\right)-ax\left(2x+2r\right)}{\left(x^2+2rx+r^2\right)^2}\\&=\dfrac{a\left(r-x\right)\left(x+r\right)}{\left(x+r\right)^4},\end{split}\]所以当 $x<-r$ 或 $x>r$ 时，$f'\left(x\right)<0$；当 $-r<x<r$ 时，$f'\left(x\right)>0$．
因此 $f\left(x\right)$ 的单调递减区间为 $\left(-\infty,-r\right)$，$\left(r,+\infty\right)$；$f\left(x\right)$ 的单调递增区间为 $\left(-r,r\right)$． -
若 $\dfrac ar=400$，求 $f\left(x\right)$ 在 $\left(0,+\infty\right)$ 内的极值．标注答案$f\left(x\right)$ 在 $\left(0,+\infty\right)$ 内的极大值为 $100$．解析由第一题的结论很容易写出所求极值．由（1）的解答可知 $f'\left(r\right)=0$，$f\left(x\right)$ 在 $\left(0,r\right)$ 上单调递增，在 $\left(r,+\infty\right)$ 上单调递减．因此，$x=r$ 是 $f\left(x\right)$ 的极大值点，所以 $f\left(x\right)$ 在 $\left(0,+\infty\right)$ 内的极大值为\[f\left(r\right)=\dfrac{ar}{\left(2r\right)^2}=100.\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
