设 $n\in {\mathbb N}^*$，$x_n$ 是曲线 $y=x^{2n+2}+1$ 在点 $\left(1,2\right)$ 处的切线与 $x$ 轴交点的横坐标．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求数列 $\left\{x_n\right\}$ 的通项公式；标注答案数列 $\left\{x_n\right\}$ 的通项公式为 $x_n=\dfrac{n}{n+1}$．解析本质是求函数在定点处的切线的方程．因为 $y' =\left(2n+2\right)x^{2n+1}$，所以曲线 $y=x^{2n+2}+1$ 在点 $\left(1,2\right)$ 处的切线斜率为 $2n+2$．从而切线方程为\[y-2=\left(2n+2\right)\left(x-1\right).\]令 $y=0$，解得切线与 $x$ 轴交点的横坐标为\[x=1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}.\]所以数列 $\left\{x_n\right\}$ 的通项公式 $x_n=\dfrac{n}{n+1}$．
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记 $T_n=x_1^2x_3^2\cdots x_{2n-1}^2$，证明：$T_n\geqslant\dfrac1{4n}$．标注答案略．解析对 $T_n$ 从 $x_3^2$ 处开始进行放缩，然后利用累乘法可证明出结论．由题设和（1）中的计算结果知\[T_n=x_1^2x_3^2\cdots x_{2n-1}^2=\left(\dfrac12\right)^2\left(\dfrac34\right)^2\cdots\left(\dfrac{2n-1}{2n}\right)^2 .\]当 $n=1$ 时，$T_1=\dfrac14$．
当 $n\geqslant 2$ 时，因为\[\begin{split}x_{2n-1}^2&=\left(\dfrac{2n-1}{2n}\right)^2\\&>\dfrac{\left(2n-1\right)^2-1}{\left(2n\right)^2}\\&=\dfrac{n-1}{n},\end{split}\]所以\[T_n\overset {\left[a\right]}>\left(\dfrac12\right)^2\cdot\dfrac12\cdot\dfrac23\cdot\cdots\cdot\dfrac{n-1}{n}=\dfrac{1}{4n}.\]（推导中用到 $\left[a\right]$．）综上可得，对任意的 $n\in{{\mathbb{N}}}^*$，均有 $T_n\geqslant\dfrac1{4n}$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
