设椭圆 $E$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），点 $O$ 为坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $\left(a,0\right)$，点 $B$ 的坐标为 $\left(0,b\right)$，点 $M$ 在线段 $AB$ 上，满足 $ \left|BM \right|=2 \left|MA \right|$，直线 $OM$ 的斜率为 $\dfrac{\sqrt5}{10}$．
【难度】
【出处】
2015年高考安徽卷（理）
【标注】
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求 $E$ 的离心率 $e$；标注答案$e=\dfrac{2\sqrt5}{5}$．解析先利用数乘向量表示出点 $M$ 的坐标，再根据斜率的值得出 $a$ 与 $b$ 的关系表达式，最后利用椭圆的性质解出答案．设 $ M\left(x_M,y_M\right)$．由题设条件知，$ \overrightarrow {BM}=2\overrightarrow {BA} $，所以\[\left(x_M,y_M-b\right)\overset {\left[a\right]}=2\left(a-x_M,-y_M\right),\]（推导中用到 $\left[a\right]$．）得 $x_M=\dfrac23a$，$y_M=\dfrac13b$．故 $M$ 的坐标为 $\left(\dfrac23a,\dfrac13b\right)$，又 $k_{OM}=\dfrac{\sqrt5}{10}$，从而 $\dfrac{b}{2a}=\dfrac{\sqrt5}{10}$．进而得 $a=\sqrt5b$，$c=\sqrt{a^2-b^2}=2b$，故 $e=\dfrac ca=\dfrac{2\sqrt5}{5}$．
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设点 $C$ 的坐标为 $\left(0,-b\right)$，$N$ 为线段 $AC$ 的中点，点 $N$ 关于直线 $AB$ 的对称点的纵坐标为 $\dfrac72$，求 $E$ 的方程．标注答案椭圆 $E$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{45}+\dfrac{y^2}{9}=1$．解析通过点关于直线对称建立等式求解即可．由题设条件和（1）的计算结果可得，直线 $AB$ 的方程为\[\dfrac{x}{\sqrt5b}+\dfrac yb=1.\]$N$ 的坐标为 $\left(\dfrac{\sqrt5}{2}b,-\dfrac12b\right)$．设点 $N$ 关于直线 $AB$ 的对称点 $S$ 的坐标为 $\left(x_1,\dfrac72\right)$，则线段 $NS$ 的中点 $T$ 的坐标为 $\left(\dfrac{\sqrt5}{4}b+\dfrac{x_1}{2},-\dfrac14b+\dfrac74\right)$．又点 $T$ 在直线 $AB$ 上，且 $k_{NS}\cdot k_{AB}=-1$，从而有\[\begin{cases}
\dfrac{\dfrac{\sqrt5}{4}b+\dfrac{x_1}{2}}{\sqrt5b}+\dfrac{-\dfrac14b+\dfrac74}{b}=1,\\\dfrac{\dfrac72+\dfrac12b}{x_1-\dfrac{\sqrt5}{2}b}=\sqrt5,
\end{cases}\]解得\[b=3 .\]所以 $a=3\sqrt5$，故椭圆 $E$ 的方程为 $\dfrac{x^2}{45}+\dfrac{y^2}{9}=1$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
