略．

根据等比数列的概念，可以求 $\dfrac{{{b_{n + 1}}}}{b_n}$ 是定值．由已知，得\[b_{n}=2^{a_{n}}>0,\]当 $n \geqslant 1$ 时，因为\[\dfrac{{{b_{n + 1}}}}{b_n} = {2^{{a_{n + 1}} - {a_n}}} = {2^d}.\]所以数列 $\left\{ {b_n}\right\} $ 是首项为 ${2^{a_1}}$，公比为 ${2^d}$ 的等比数列．

数列 $\left\{ {a_n}b_n^2\right\} $ 的前 $n$ 项和 ${S_n}= \dfrac{{\left(3n - 1\right){4^{n + 1}} + 4}}{9}$．

利用导数求出切线方程后可以根据截距算出 $a_2$ 的值，即可得出等差数列的通项 $a_n$，而所要求前 $n$ 项和的数列是一个差比数列，故可以用错位相减法求解．因为 $f\left(x\right)=2^{x}$，求导，得\[f'\left(x\right)=2^{x} \ln2,\]所以 $f\left(x\right)=2^{x}$ 在 $\left(a_2,b_2\right)$ 处的切线为\[y-b_2=2^{a_{2}}\ln2\left(x-a_{2}\right),\]令 $y=0$，得\[-b_{2}=\left(2^{a_{2}}\ln2\right) \left(x-a_{2}\right),x=a_{2}-\dfrac {1}{\ln 2} ,\]解得 $ a_{2}=2$，所以 $d=1$，故\[a_{n}=n,b_{n}=2^{n},\]所以\[a_{n}b_{n}^{2}=n\cdot4^{n},\]其前 $ n $ 项和用错位相减法求．因为\[{S_n} = 1 \cdot 4 + 2 \cdot {4^2} + 3 \cdot {4^3} + \cdots + \left(n - 1\right) \cdot {4^{n - 1}} + n \cdot {4^n}, \quad \cdots \cdots ① \]两边乘以 $ 4 $，得\[4{S_n} = 1 \cdot {4^2} + 2 \cdot {4^3} + 3 \cdot {4^4} + \cdots + \left(n - 1\right) \cdot {4^n} + n \cdot {4^{n + 1}}, \quad \cdots \cdots ② \]$ ① - ② $ 得\[\begin{split}{S_n} - 4{S_n} & = 4 + {4^2} + {4^3} + \cdots + {4^n} - n \cdot {4^{n + 1}} \\&= \dfrac{{{4^{n + 1}} - 4}}{3} - n \cdot {4^{n + 1}},\end{split}\]所以 ${S_n} = \dfrac{{\left(3n - 1\right){4^{n + 1}} + 4}}{9}$．