已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\left(a > b > 0\right)$ 的左焦点为 $F\left( - 2,0\right)$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 6 }{3}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求椭圆 $C$ 的标准方程；标注答案椭圆的标准方程为 $\dfrac{x^{2}}{6}+\dfrac{y^{2}}{2}=1$．解析本题考查椭圆的基本量与方程，由已知确定 $a$，$b$ 的值即可．由已知，得\[\dfrac{c}{a} \overset {\left[a\right]}= \dfrac{\sqrt 6 }{3},c\overset {\left[b\right]}=2,\]（推导中用到 $ \left[a\right]$，$\left[b\right] $．）所以\[a = \sqrt 6, \]又由 ${a^2} = {b^2} + {c^2}$，解得\[b = \sqrt 2 ,\]所以椭圆的标准方程为 $\dfrac{x^{2}}{6}+\dfrac{y^{2}}{2}=1$．
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设 $O$ 为坐标原点，$T$ 为直线 $x = - 3$ 上一点，过 $F$ 作 $TF$ 的垂线交椭圆于 $P$，$Q$．当四边形 $OPTQ$ 是平行四边形时，求四边形 $OPTQ$ 的面积．标注答案四边形 $ OPTQ $ 的面积为 $ 2\sqrt 3 $．解析确定 $T$ 点位置是解题的关键．先设出参数，由 $TF \perp PQ$ 可用参数表示直线方程，再联立直线与椭圆得 $P$，$Q$ 坐标关系，最后由平行四边形的对边得到相等向量解出参数后求面积即可．设 $ T $ 点的坐标为 $\left( - 3,m\right)$，则直线 $ TF $ 的斜率\[{k_{TF}}= \dfrac{m - 0}{ - 3 - \left( - 2\right)} = - m.\]当 $m \ne 0$ 时，直线 $ PQ $ 的斜率 ${k_{PQ}} = \dfrac{1}{m}$，直线 $ PQ $ 的方程是\[x=my-2,\]当 $m = 0$ 时，直线 $ PQ $ 的方程是\[x = - 2,\]也符合 $x=my-2$ 的形式．
将 $x=my-2$ 代入椭圆方程，得\[\left(m^{2}+3\right)y^{2}-4my-2=0.\]其判别式\[\Delta = 16{m^2} + 8\left({m^2} + 3\right) > 0.\]设 $P\left({x_1},{y_1}\right)$，$Q\left({x_2},{y_2}\right)$，则\[\begin{split}{y_1} + {y_2} & = \dfrac{4m}{{{m^2} + 3}}, {y_1}{y_2} = \dfrac{ - 2}{{{m^2} + 3}},\\ {x_1} + {x_2} & = m\left({y_1} + {y_2}\right) - 4 = \dfrac{ - 12}{{{m^2} + 3}}.\end{split}\]因为四边形 $ OPTQ $ 是平行四边形，所以 $\overrightarrow {OP} = \overrightarrow {QT} $，即\[\left({x_1},{y_1}\right) \overset {\left[c\right]}= \left( - 3 - {x_2},m - {y_2}\right).\]（推导中用到 $ \left[c\right]$．）所以\[{\begin{cases}{x_1} + {x_2} = \dfrac{ - 12}{{{m^2} + 3}} = - 3, \\
{y_1} + {y_2} = \dfrac{4m}{{{m^2} + 3}} = m .\\
\end{cases}}\]解得\[m = \pm 1.\]此时四边形 $ OPTQ $ 的面积\[\begin{split}{S_{四边形 OPTQ}} &= 2{S_{\triangle OPQ}}\\&= 2 \times \dfrac{1}{2}|OF| \cdot |{y_1} - {y_2}| \\& = 2\sqrt {{{\left(\dfrac{4m}{{{m^2} + 3}}\right)}^2} - 4\times \dfrac{ - 2}{{{m^2} + 3}}} \\ &= 2\sqrt 3 .\end{split}\]
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
