设 $\triangle ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 所对边的长分别是 $a$，$b$，$c$，且 $b = 3$，$c = 1$，$\triangle ABC$ 的面积为 $\sqrt 2 $，求 $\cos A$ 与 $a$ 的值．
【难度】
【出处】
2014年高考安徽卷（文）
【标注】
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标注答案当 $\cos A = \dfrac{1}{3}$ 时，$a = 2\sqrt {2} $；当 $\cos A = - \dfrac{1}{3}$ 时，$a = 2\sqrt 3 $．解析由三角形面积公式可求得 $ \sin A $ 的值，于是 $\cos A$ 可得，再由余弦定理可求得 $a$ 的值．因为\[\begin{split}{S_{\triangle ABC}} \overset {\left[a\right]}= \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 1 \cdot \sin A = \sqrt 2 ,\end{split}\]（推导中用到 $\left[a\right]$．）所以 $ \sin A = \dfrac{2\sqrt 2 }{3}$，可得\[ \begin{split}\cos A \overset {\left[b\right]}= \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}A} = \pm \dfrac{1}{3},\end{split}\]（推导中用到 $\left[b\right]$．）由余弦定理得\[{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A,\]当 $\cos A = \dfrac{1}{3}$ 时，$a = 2\sqrt {2} $；当 $\cos A = - \dfrac{1}{3}$ 时，$a = 2\sqrt 3 $．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
