单调递增区间为：\[\left(\dfrac{{-1 - \sqrt {3a + 4} }}{ 3},\dfrac{{-1+\sqrt {3a + 4} }}{ 3}\right),\]单调递减区间为：\[\left( - \infty ,\dfrac{{-1 - \sqrt {3a + 4} }}{ 3}\right) 和 \left(\dfrac{{-1 +\sqrt {3a + 4} }}{ 3}, + \infty \right).\]

注意导函数的图象开口方向向下，写原函数的单调性时勿弄反了；条件已给出了参数的范围，本题不需要分类讨论了．可以用导数研究单调性．由题可知 $f\left(x\right)$ 的定义域为 $\left(-\infty,+\infty\right)$．\[f'\left(x\right) = - 3{x^2} - 2x + 1 + a,\]因为 $ a > 0$，$\Delta = 12a + 16 > 0$，所以令 $ f'\left(x\right)=0 $，得\[ x_1 = \dfrac{{-1 - \sqrt {3a + 4} }}{3},x_2=\dfrac{-1+\sqrt {3a+4}}{3}.\]故 $ f'\left(x\right) > 0$ 的解为\[\left(\dfrac{{-1 - \sqrt {3a + 4} }}{3},\dfrac{{-1 + \sqrt {3a + 4} }}{ 3}\right),\]即单调递增区间为\[\left(\dfrac{{-1 - \sqrt {3a + 4} }}{ 3},\dfrac{{-1+\sqrt {3a + 4} }}{ 3}\right),\]$f'\left(x\right) < 0$ 的解为\[\left( - \infty ,\dfrac{{-1 - \sqrt {3a + 4} }}{3}\right) \cup \left(\dfrac{{-1 + \sqrt {3a + 4} }}{ 3}, + \infty \right),\]即单调递减区间为\[\left( - \infty ,\dfrac{{-1 - \sqrt {3a + 4} }}{ 3}\right) 和 \left(\dfrac{{-1 +\sqrt {3a + 4} }}{ 3}, + \infty \right).\]

① 当 $ a \geqslant 4$ 时，$ f\left(x\right)$ 在 $x=0 $ 和 $x=1 $ 处，分别取得最小值和最大值．
② 当 $0<a<4 $ 时，$f\left(x\right) $ 在 $x =\dfrac{-1+\sqrt{3a+4}}{3} $ 处，取得最大值．当 $ 0<a<1$ 时，$f\left(x\right) $ 在 $x=1 $ 处取得最小值；当 $a=1 $ 时，$f\left(x\right) $ 在 $x=0 $ 和 $x=1 $ 处同时取得最小值；当 $ 1<a<4$ 时，$f\left(x\right) $ 在 $x=0 $ 处取得最小值．

要研究闭区间上函数的最值，需研究给定区间上函数的单调性，结合第一题的结论，需要分类讨论求解，讨论划分的标准根据区间端点值的比较得出．因为 $a>0 $，所以 $x_1<0 $，$x_2>0 $．
① 当 $ a \geqslant 4$ 时，$x_2 \geqslant 1 $，由（1）知，$f\left(x\right) $ 在 $\left[0,1\right] $ 上单调递增，所以 $ f\left(x\right)$ 在 $x=0 $ 和 $x=1 $ 处，分别取得最小值和最大值．
② 当 $0<a<4 $ 时，$x_2<1 $，由（1）知，$f\left(x\right) $ 在 $\left[0,x_2\right] $ 上单调递增，在 $ \left[x_2,1\right]$ 上单调递减，所以 $f\left(x\right) $ 在 $x=x_2=\dfrac{-1+\sqrt{3a+4}}{3} $ 处，取得最大值．又 $f\left(0\right)=1 $，$ f\left(1\right)=a$，所以当 $ 0<a<1$ 时，$f\left(x\right) $ 在 $x=1 $ 处取得最小值；当 $a=1 $ 时，$f\left(x\right) $ 在 $x=0 $ 和 $x=1 $ 处同时取得最小值；当 $ 1<a<4$ 时，$f\left(x\right) $ 在 $x=0 $ 处取得最小值．
综上，① 当 $ a \geqslant 4$ 时，$ f\left(x\right)$ 在 $x=0 $ 和 $x=1 $ 处，分别取得最小值和最大值．
② 当 $0<a<4 $ 时，$f\left(x\right) $ 在 $x =\dfrac{-1+\sqrt{3a+4}}{3} $ 处，取得最大值．当 $ 0<a<1$ 时，$f\left(x\right) $ 在 $x=1 $ 处取得最小值；当 $a=1 $ 时，$f\left(x\right) $ 在 $x=0 $ 和 $x=1 $ 处同时取得最小值；当 $ 1<a<4$ 时，$f\left(x\right) $ 在 $x=0 $ 处取得最小值．