题目

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某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline
&喜欢甜品&不喜欢甜品&合计 \\ \hline
南方学生&60&20&80 \\ \hline
北方学生&10&10&20 \\ \hline
合计&70&30&100 \\ \hline
\end{array} \]附：$\chi^{2}=\dfrac {n\left(n_{11}n_{22}-n_{12}n_{21}\right)^{2}}{n_{1+}n_{2+}n_{+1}n_{+2}}$，\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline P\left(\chi^{2}\geqslant k\right)&0.100&0.050&0.010 \\ \hline k&2.706&3.841&6.635 \\ \hline \end{array}\]

【难度】

【出处】

2014年高考辽宁卷（文）

【标注】

根据表中数据，问是否有 $ 95\% $ 的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；
标注
答案

有 $95\% $ 的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．

解析

本题考查独立性检验．将 $2 \times 2$ 列联表中的数据代入公式计算，得\[\begin{split} {\chi^2} &= \dfrac{{n{{\left({n_{11}}{n_{22}} - {n_{12}}{n_{21}}\right)}^2}}}{{{n_{1 + }}{n_{2 + }}{n_{ + 1}}{n_{ + 2}}}}\\& = \dfrac{{100 {{\left(60\cdot 10 - 20 \cdot10\right)}^2}}}{70 \cdot 30 \cdot 80 \cdot 20} \\&= \dfrac{100}{21} \approx 4.762, \end{split}\]由于 $4.762 > 3.841$，所以有 $95\% $ 的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．
已知在被调查的北方学生中有 $ 5 $ 名数学系的学生，其中 $ 2 $ 名喜欢甜品，现在从这 $ 5 $ 名学生中随机抽取 $ 3 $ 人，求至多有 $ 1 $ 人喜欢甜品的概率．
标注
答案

至多有 $ 1 $ 人喜欢甜品的概率为 $ \dfrac{7}{10}$．

解析

本题考查古典概型，列出基本事件空间是解题的关键．从 $ 5 $ 名数学系的学生中任取 $ 3 $ 人的一切可能结果有：$\left({a_1},{a_2},{b_1}\right)$，$\left({a_1},{a_2},{b_2}\right)$，$\left({a_1},{a_2},{b_3}\right)$，$\left({a_1},{b_1},{b_2}\right)$，$\left({a_1},{b_2},{b_3}\right)$，$\left({a_1},{b_1},{b_3}\right)$，$\left({a_2},{b_1},{b_2}\right)$，$\left({a_2},{b_2},{b_3}\right)$，$\left({a_2},{b_1},{b_3}\right)$，$\left({b_1},{b_2},{b_3}\right)$，其中 ${a_i}$ 表示喜欢甜品的学生，$i = 1,2$．${b_j}$ 表示不喜欢甜品的学生，$j = 1,2,3$．基本事件空间由这 $ 10 $ 个基本事件组成，且这些基本事件出现是等可能的．用 $ A $ 表示“$ 3 $ 人中至多有 $ 1 $ 人喜欢甜品”这一事件，则 $A$ 包含：$\left({a_1},{b_1},{b_2}\right)$，$\left({a_1},{b_2},{b_3}\right)$，$\left({a_1},{b_1},{b_3}\right)$，$\left({a_2},{b_1},{b_2}\right)$，$\left({a_2},{b_2},{b_3}\right)$，$\left({a_2},{b_1},{b_3}\right)$，$\left({b_1},{b_2},{b_3}\right)$ 这 $7$ 个基本事件，因而 $P\left(A\right) = \dfrac{7}{10}$．