如图，$\triangle ABC$ 和 $\triangle BCD$ 所在平面互相垂直，且 $AB = BC = BD = 2$，$ \angle ABC = \angle DBC = {120^\circ}$，$ E$，$F$，$G $ 分别为 $ AC$，$DC$，$AD $ 的中点．
附：锥体的体积公式 $V = \dfrac{1}{3}Sh$，其中 $ S $ 为底面面积，$ h $ 为高．
附：锥体的体积公式 $V = \dfrac{1}{3}Sh$，其中 $ S $ 为底面面积，$ h $ 为高．
【难度】
【出处】
2014年高考辽宁卷（文）
【标注】
-
求证：$EF \perp 平面 BCG $；标注答案略．解析利用等腰三角形的三线合一，可以证明 $AD\perp 平面 BCG$，由线面垂直的性质知，可得结论．由已知得 $\triangle ABC \cong \triangle DBC$，因此 $AC = DC$．
又 $G$ 为 $AD$ 中点，所以 $CG \perp AD$．
同理 $BG \perp AD$，又 $ BG\cap CG=G $，因此 $AD \perp 平面 BGC$．
又 $EF\parallel AD$，所以 $EF \perp 平面 BGC $． -
求三棱锥 $ D-BCG $ 的体积．标注答案三棱锥 $ D-BCG $ 的体积为 $ \dfrac{1}{2} $．解析可以通过转化底面的方法，以 $BCD$ 为底求体积，对应的高则是 $A$ 到 $BCD$ 距离的一半．在平面 $ABC$ 内，作 $AO \perp CB$，交 $CB$ 延长线于 $O$，由平面 $ABC \perp 平面 BCD$，知 $AO \perp 平面 BDC$．
又 $G$ 为 $AD$ 中点，因此 $G$ 到平面 $BCD$ 的距离 $h$ 是 $AO$ 长度的一半．
在 $\triangle AOB$ 中，可得\[AO = AB \cdot \sin {60^\circ} = \sqrt 3 ,\]所以\[\begin{split}{V_{D - BCG}} &\overset {\left[a\right]}= {V_{G - BCD}} \\&= \dfrac{1}{3} \cdot {S_{\triangle DBC}} \cdot h \\&= \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot BD \cdot BC \cdot \sin {120^\circ} \cdot \dfrac{\sqrt 3 }{2}\\&= \dfrac{1}{2}.\end{split}\]（推导中用到 $\left[a\right]$．）
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
