点 $P$ 的坐标为 $\left(\sqrt 2 ,\sqrt 2 \right)$．

先利用切点坐标表示出面积，再利用均值定理得到取最值时的条件即可．设切点坐标为 $\left({x_0},{y_0}\right)$ $\left({x_0} > 0,{y_0} > 0\right)$，则切线斜率为 $ - \dfrac{x_0}{y_0}$，切线方程为\[y - {y_0} = - \dfrac{x_0}{y_0}\left(x - {x_0}\right),\]即\[{x_0}x + {y_0}y = 4,\]此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积\[S = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{x_0} \cdot \dfrac{4}{y_0} = \dfrac{8}{{{x_0}{y_0}}},\]由 ${x_0^2} + {y_0^2} = 4 \geqslant 2{x_0}{y_0}$，知当且仅当 ${x_0} = {y_0} = \sqrt 2 $ 时，${x_0}{y_0}$ 有最大值，即 $S$ 有最小值，因此点 $P$ 的坐标为 $\left(\sqrt 2 ,\sqrt 2 \right)$．

$C$ 的标准方程为 $\dfrac{x^2}{6} + \dfrac{y^2}{3} = 1$．

可以利用点在曲线上得到所求方程的参数的一个关系，再根据所给三角形面积求出相应的参数值即可，求解的过程中利用到了弦长公式和点到直线的距离公式．设 $C$ 的标准方程为 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ $\left(a > b > 0\right)$，点 $A\left({x_1},{y_1}\right)$，$B\left({x_2},{y_2}\right)$．
由点 $P$ 在 $C$ 上，知\[\dfrac{2}{a^2} + \dfrac{2}{b^2} = 1,\]并由\[{\begin{cases}
\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1, \\
y = x + \sqrt 3 . \\
\end{cases}}\]得\[{b^2}{x^2} + 4\sqrt 3 x + 6 - 2{b^2} = 0.\]又 ${x_1} $，${x_2}$ 是方程的根，因此\[{\begin{cases}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{4\sqrt 3 }{b^2} ,\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{{6 - 2{b^2}}}{b^2}. \\
\end{cases}}\]由 ${y_1} = {x_1} + \sqrt 3 $，${y_2} = {x_2} + \sqrt 3 $，得\[\left| {AB} \right| \overset {\left[b\right]}= \sqrt 2 \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \sqrt 2 \cdot \dfrac{{\sqrt {48 - 24{b^2} + 8{b^4}} }}{b^2}.\]（推导中用到 $\left[b\right]$）由点 $P$ 到直线 $l$ 的距离为 $\dfrac{\sqrt 3 }{\sqrt 2 }$及 ${S_{\triangle PAB}} = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\sqrt 3 }{\sqrt 2 }\left| {AB} \right| = 2$，得\[{b^4} - 9{b^2} + 18 = 0,\]解得\[{b^2} = 6 或 {b^2} = 3.\]因此\[{b^2} = 6,{a^2} = 3 \left(舍\right)或 {b^2} = 3,{a^2} = 6.\]从而所求 $C$ 的标准方程为 $\dfrac{x^2}{6} + \dfrac{y^2}{3} = 1$．