略．

通过移项将要证明的不等式的一边化为零，研究另一边所对应函数的最值即可．令 $f\left(x\right) = {\left(1 + x\right)^p} - 1 - px$，则\[f'\left(x\right) = p{\left(1 + x\right)^{p - 1}} - p = p\left[{\left(1 + x\right)^{p - 1}} - 1\right],\]当 $x \in \left( - 1,0\right)$ 时，$0 < 1 + x < 1$，\[{\left(1 + x\right)^{p - 1}} - 1 < 0,\]当 $x \in \left(0, + \infty \right)$ 时，\[{\left(1 + x\right)^{p - 1}} - 1 > 0,\]故 $f\left(x\right)$ 在 $\left( - 1,0\right)$ 上单调递减，在 $\left(0, + \infty \right)$ 上单调递增，$f\left(x\right)$ 在 $x = 0$ 处取最小值 $f\left(0\right) = 0$，
故当 $x > - 1$ 且 $x \ne 0$ 时，${\left(1 + x\right)^p} > 1 + px$．

略．

可以采用数学归纳法证明．先证 ${a_n} > {c^{\frac{1}{p}}}$．可以用数学归纳法证明：
① 当 $n = 1$ 时，显然成立．
② 假设 $n = k\left(k \in {{\mathbb{N}}^*}\right)$ 时，${a_k} > {c^{\frac{1}{p}}}$ 成立．
由\[a_{n+1}=\dfrac{p-1}{p} {a_n} + \dfrac{c}{p}a_n^{1-p},\]易知 $a_n>0,n\in{\mathbb{N}}^* $．
则当 $n = k + 1$ 时，\[\dfrac{a_{k + 1}}{a_k} = \dfrac{p - 1}{p} + \dfrac{c}{p}a_k^{- p}=1+\dfrac{1}{p}\left(\dfrac{c}{a_k^p}-1\right),\]由 $a_k>c^{\frac{1}{p}}>0$ 得 $ -1<-\dfrac{1}{p}<\dfrac{1}{p}\left(\dfrac{c}{a_k^p}-1\right)<0$．
由（1）中的结论得\[\begin{split} \left(\dfrac{a_{k+1}}{a_k}\right)^p&=\left[1+\dfrac{1}{p}\left(\dfrac{c}{a_n^p}-1\right)\right]^p\\&>1+p\cdot \dfrac{1}{p}\left(\dfrac{c}{a_k^p}-1\right)\\&=\dfrac{c}{a_k^p},\end{split}\]因此 $a_{k+1}^p>c $，即 $a_{k+1}>c^{\frac{1}{p}} $．
所以当 $n=k+1 $ 时，不等式 $a_n>c^{\frac{1}{p}} $ 也成立．
综合 ①② 可得，对于一切正整数 $ n$，不等式 $ a_n>c^{\frac{1}{p}}$ 均成立．
再由 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=1+\dfrac{1}{p}\left(\dfrac{c}{a_n^p}-1\right) $，可得 $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}<1 $，即 $a_{n+1}<a_n $．
综上所述，${a_n} > {a_{n+1}} > c^{\frac 1 p } ,n\in{\mathbb{N}}^*$．